EDP et topologie

Bonjour,

Cherchant à résoudre le plus précisément possible l'exercice suivant, je me suis heurté à une difficulté :
Déterminer les applications $h$ de classe $C^2$ sur $[-1,1]$ et les ouverts connexes $U$ de $\R^2$ tels que l'application $H:(x,y)\mapsto h\left(\frac{\cos(x)}{\cosh(y)}\right)$ définie sur $U$ soit harmonique sur $U$.
Si on note $\phi$ l'application $(x,y)\mapsto \frac{\cos(x)}{\cosh(y)}$, on en arrive à distinguer les cas où $-1$ ou $1$ sont dans l'adhérence de l'intervalle $I=\phi(U)$ ou non, auxquels cas la fonction $h$ est constante ou non.

Mes questions sont :

1. Peut-on exprimer plus simplement la condition $\left(-1\in \overline{\phi(U)} \text{ ou } 1\in \overline{\phi(U)}\right)$ ?
2. Plus précisément, peut-on dire quelque chose de $U$ vis-à-vis de l'ensemble $P=\pi\Z\times\{0\}$ ?
3. Si on ne peut rien dire de simple, quelle condition ajouter à l'ensemble $U$ pour que la condition soit plus simple ? (genre $U\cap P\neq \emptyset$)

Merci pour votre aide.