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Calcul d'un produit infini

Envoyé par zenon 
Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Bonjour à tous. On sait que $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\rho^{2^i})=\sum_{i=0}^{2^{n}-1}\rho^{i} $ pour $0\le \rho <1$. Je veux écrire le produit suivant sous la forme d'une somme ou du moins le simplifier : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\theta \rho^{2^i-1}) $ où $\theta \le 1$ est une constante positive. Toute suggestion ou idée est la bienvenue. Merci d'avance.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Le principe est le même, tu développes et tu identifies quel coefficient se trouve devant $\rho^k$. Tu obtiens $$\sum_{k \geq 0} a_k \rho^k,\qquad\text{où}\quad a_k = \sum_{F \subset E, \sum_{l \in F} l = k} \theta^{|F|}$$ et $E = \{2^0-1, 2^1-1, 2^2-1, \dots\}$.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
Bonjour Poirot
Je ne sais pas comment appliquer ta formule dans le cas simple $\theta =1$, ça donne quoi $\prod_{n=0}^{N} (1+\rho^{2^n -1 }) $ comme formule simple ? Merci

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Je ne sais pas ce que ça vaut, j'ai simplement répondu à la question d'exprimer le produit comme une somme. Il faudrait savoir compter le nombre de manière d'écrire un entier comme sommes d'entiers de la forme $2^k-1$.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
Merci Poirot ,

si je trouve un résultat simple dans ce cas; je reviens

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
En somme on cherche quels sont les entiers de la forme $n - s_2(n)$ où $s_2(n)$ désigne la somme des chiffres en base $2$ de $n$, et de combien de manière on peut les écrire sous cette forme. winking smiley
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
Poirot tu sais je suis modeste en dénombrement , j’espère que P, gerard0, B-J passeront par la

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Désolé,

mais moi aussi je suis "modeste" en dénombrement !

Cordialement.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Merci à vous tous Poirot, gebrane et gerard0. Je suis également "modeste" en dénombrement, mais je vais voir comment je peux le déterminer. D'autres suggestions sont les bienvenues. D'ailleurs on peut penser poster ce problème sur le forum de probabilité, si on n'arrive guère à trouver une réponse dans cette section du forum. Merci encore pour vos commentaires.

Cordialement.
P.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Cher zenon, pourquoi parles tu de probabilite a propos de cette question?
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
Quand il n'y a plus aucun espoir, on va voir une voyante ou un probabiliste...
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Pour P., je parle de probabilité tout simplement par ce que c'est les gens qui travaillent en probabilité qui rencontrent fréquemment les problèmes de combinatoire et de dénombrement. Pour aléa, ton commentaire m'a vraiment plu.

Cordialement.

zenon
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Bonsoir
ton expression algébrique est égale à $$
\frac{1-\rho^{2^n}}{1-\rho}

$$ et si $n$ tend vers $+\infty$ avec $- 1 < \rho < 1$ alors le produit infini tend vers la limite $\dfrac{1}{1-\rho}.$
Pour démontrer ce résultat tu opères par factorisations successives à partir de :
$1 - \rho^{2^n} = (1 - \rho^{2^{n-1}})(1 + \rho^{2^{n-1}}) = (1 - \rho^{2^{n-2}})(1+ \rho^{2^{n-2}})(1+\rho^{2^{n-1}})$
soit encore :
$1 - \rho^{2^n}= (1 - \rho)(1 + \rho)(1 + \rho^2)( 1 + \rho^4)(1 + \rho^8)\cdots(1 + \rho^{2^{n-1}}),$
d'où le résultat algébrique et sa limite lorsque $n$ tend vers l'infini.

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Comme d'habitude la pertinence des interventions de jean lismonde est légendaire !
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
JL c'est joli mais hors sujet. edit Poirot m'a devancé.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Bonsoir Jean lismonde . Je veux calculer : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\theta
\rho^{2^i-1}) $ où $\theta \le 1$ et non pas : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+
\rho^{2^i-1}) $ (c'est-à-dire pour $\theta=1$). Merci quand même pour ta solution.

Cordialement.
Zenon



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
zenon
Puisque P et alea se déchargent ! (je ne sais pas si tu connais leurs poids scientifiques au Forum) , je te conseille d'oublier la question pour un moment

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
Merci gebrane pour ton conseil et bonne fin de soirée.

zenon
Re: Calcul d'un produit infini
il y a trois mois
avatar
Je te souhaite aussi une bonne soirée
J'ai oublié de te dire que je suis dans la catégorie des Poids plumes au forum
( je connais quelqu'un qui va rire jusqu’aux larmes dans les yeux grinning smiley)

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