Calcul d'un produit infini
Bonjour à tous. On sait que $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\rho^{2^i})=\sum_{i=0}^{2^{n}-1}\rho^{i} $ pour $0\le \rho <1$. Je veux écrire le produit suivant sous la forme d'une somme ou du moins le simplifier : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\theta \rho^{2^i-1}) $ où $\theta \le 1$ est une constante positive. Toute suggestion ou idée est la bienvenue. Merci d'avance.
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Réponses
Je ne sais pas comment appliquer ta formule dans le cas simple $\theta =1$, ça donne quoi $\prod_{n=0}^{N} (1+\rho^{2^n -1 }) $ comme formule simple ? Merci
si je trouve un résultat simple dans ce cas; je reviens
mais moi aussi je suis "modeste" en dénombrement !
Cordialement.
Cordialement.
Cordialement.
zenon
ton expression algébrique est égale à $$
\frac{1-\rho^{2^n}}{1-\rho}
$$ et si $n$ tend vers $+\infty$ avec $- 1 < \rho < 1$ alors le produit infini tend vers la limite $\dfrac{1}{1-\rho}.$
Pour démontrer ce résultat tu opères par factorisations successives à partir de :
$1 - \rho^{2^n} = (1 - \rho^{2^{n-1}})(1 + \rho^{2^{n-1}}) = (1 - \rho^{2^{n-2}})(1+ \rho^{2^{n-2}})(1+\rho^{2^{n-1}})$
soit encore :
$1 - \rho^{2^n}= (1 - \rho)(1 + \rho)(1 + \rho^2)( 1 + \rho^4)(1 + \rho^8)\cdots(1 + \rho^{2^{n-1}}),$
d'où le résultat algébrique et sa limite lorsque $n$ tend vers l'infini.
Cordialement.
\rho^{2^i-1}) $ où $\theta \le 1$ et non pas : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+
\rho^{2^i-1}) $ (c'est-à-dire pour $\theta=1$). Merci quand même pour ta solution.
Cordialement.
Zenon
Puisque P et alea se déchargent ! (je ne sais pas si tu connais leurs poids scientifiques au Forum) , je te conseille d'oublier la question pour un moment
zenon
J'ai oublié de te dire que je suis dans la catégorie des [size=x-large]Poids plumes[/size] au forum
( je connais quelqu'un qui va rire jusqu’aux larmes dans les yeux :-D)