Calcul d'un produit infini

zenon
zenon
dans Analyse
Bonjour à tous. On sait que $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\rho^{2^i})=\sum_{i=0}^{2^{n}-1}\rho^{i} $ pour $0\le \rho <1$. Je veux écrire le produit suivant sous la forme d'une somme ou du moins le simplifier : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\theta \rho^{2^i-1}) $ où $\theta \le 1$ est une constante positive. Toute suggestion ou idée est la bienvenue. Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Le principe est le même, tu développes et tu identifies quel coefficient se trouve devant $\rho^k$. Tu obtiens $$\sum_{k \geq 0} a_k \rho^k,\qquad\text{où}\quad a_k = \sum_{F \subset E, \sum_{l \in F} l = k} \theta^{|F|}$$ et $E = \{2^0-1, 2^1-1, 2^2-1, \dots\}$.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour Poirot
    Je ne sais pas comment appliquer ta formule dans le cas simple $\theta =1$, ça donne quoi $\prod_{n=0}^{N} (1+\rho^{2^n -1 }) $ comme formule simple ? Merci
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    Je ne sais pas ce que ça vaut, j'ai simplement répondu à la question d'exprimer le produit comme une somme. Il faudrait savoir compter le nombre de manière d'écrire un entier comme sommes d'entiers de la forme $2^k-1$.
  • gebrane
    gebrane
    Merci Poirot ,

    si je trouve un résultat simple dans ce cas; je reviens
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    En somme on cherche quels sont les entiers de la forme $n - s_2(n)$ où $s_2(n)$ désigne la somme des chiffres en base $2$ de $n$, et de combien de manière on peut les écrire sous cette forme. ;-)
  • gebrane
    gebrane
    Poirot tu sais je suis modeste en dénombrement , j’espère que P, gerard0, B-J passeront par la
    Le 😄 Farceur


  • gerard0
    gerard0
    Désolé,

    mais moi aussi je suis "modeste" en dénombrement !

    Cordialement.
  • zenon
    zenon
    Merci à vous tous Poirot, gebrane et gerard0. Je suis également "modeste" en dénombrement, mais je vais voir comment je peux le déterminer. D'autres suggestions sont les bienvenues. D'ailleurs on peut penser poster ce problème sur le forum de probabilité, si on n'arrive guère à trouver une réponse dans cette section du forum. Merci encore pour vos commentaires.

    Cordialement.
  • P.
    P.
    Cher zenon, pourquoi parles tu de probabilite a propos de cette question?
  • aléa
    aléa
    Quand il n'y a plus aucun espoir, on va voir une voyante ou un probabiliste...
  • zenon
    zenon
    Pour P., je parle de probabilité tout simplement par ce que c'est les gens qui travaillent en probabilité qui rencontrent fréquemment les problèmes de combinatoire et de dénombrement. Pour aléa, ton commentaire m'a vraiment plu.

    Cordialement.

    zenon
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonsoir
    ton expression algébrique est égale à $$
    \frac{1-\rho^{2^n}}{1-\rho}

    $$ et si $n$ tend vers $+\infty$ avec $- 1 < \rho < 1$ alors le produit infini tend vers la limite $\dfrac{1}{1-\rho}.$
    Pour démontrer ce résultat tu opères par factorisations successives à partir de :
    $1 - \rho^{2^n} = (1 - \rho^{2^{n-1}})(1 + \rho^{2^{n-1}}) = (1 - \rho^{2^{n-2}})(1+ \rho^{2^{n-2}})(1+\rho^{2^{n-1}})$
    soit encore :
    $1 - \rho^{2^n}= (1 - \rho)(1 + \rho)(1 + \rho^2)( 1 + \rho^4)(1 + \rho^8)\cdots(1 + \rho^{2^{n-1}}),$
    d'où le résultat algébrique et sa limite lorsque $n$ tend vers l'infini.

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Comme d'habitude la pertinence des interventions de jean lismonde est légendaire !
  • gebrane
    gebrane
    JL c'est joli mais hors sujet. edit Poirot m'a devancé.
    Le 😄 Farceur


  • zenon
    zenon
    Bonsoir Jean lismonde . Je veux calculer : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+\theta
    \rho^{2^i-1}) $ où $\theta \le 1$ et non pas : $\prod_{i=0}^{n-1}(1+
    \rho^{2^i-1}) $ (c'est-à-dire pour $\theta=1$). Merci quand même pour ta solution.

    Cordialement.
    Zenon
  • gebrane
    gebrane
    zenon
    Puisque P et alea se déchargent ! (je ne sais pas si tu connais leurs poids scientifiques au Forum) , je te conseille d'oublier la question pour un moment
    Le 😄 Farceur


  • zenon
    zenon
    Merci gebrane pour ton conseil et bonne fin de soirée.

    zenon
  • gebrane
    gebrane
    Je te souhaite aussi une bonne soirée
    J'ai oublié de te dire que je suis dans la catégorie des [size=x-large]Poids plumes[/size] au forum
    ( je connais quelqu'un qui va rire jusqu’aux larmes dans les yeux :-D)
    Le 😄 Farceur


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