Inégalité à 3 variables

etanche
etanche
dans Analyse
Bonjour

$a,b,c$ des réels positifs tels que $ab+bc+ca=1.$ Montrer que $$

12abc \geq a+b -|a-b| +2c -\big|a+b-|a-b|-2c\big| .

$$ Merci.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Il suffit de choisir un ordre pour les 3 variables pour obtenir une trivialité, non ?
  • Tonm
    Tonm
    Oui c'est trivial (~) si on se débarrassent des valeurs absolues $a\ge b\ge c$ et $ab\ge \frac{1}{{3}}$.
  • etanche
    etanche
    @Tonm pourquoi 1/sqrt(3) ? merci
  • Tonm
    Tonm
    $a$ et $b$ seront les plus grands disons et puisque $ab+bc+ca=1$ je voulais dire $ab\ge \dfrac{1}{3}$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @Tonm : Tu n’as fait aucun progrès depuis des années sur les inégalités. Je t’avais invité à reprendre les mathématiques à partir du CM1. As-tu commencé ? Dis-nous où tu bloques et nous t’aiderons.
  • etanche
    etanche
    Cette inégalité a été publiée dans les bulletins de APMEP https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA16061.pdf

    C’est le problème 519-1, du bulletin APMEP 520 il n’a jamais été corrigé car les bulletins de l’APMEP ne sont plus publiés depuis quelques années.
  • jandri
    jandri
    Il y a clairement une coquille dans l'énoncé posé sur le bulletin APMEP 520 puisqu'on demande de montrer $12abc\geq x-|x|$ avec $x=a+b-|a-b|+2c$, ce qui est trivial pour $abc>0$.
  • etanche
    etanche
    On peut essayer de retrouver le bon énoncé peut-être en ajoutant les valeurs absolues
  • Tonm
    Tonm
    Bon, $$12abc\ge a+b-(b-a)+2c-|a+b-(b-a)-2c|$$ où on a supposer sans perte de généralité $b\ge a$ donc $$ 12abc\ge 2a+2c-|2a-2c| $$ ici aussi sans perte de généralité $a\ge c$ puis $3abc\ge c$ ce qui est trivial vu les conditions.

    Salut Yves.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Es-tu sûr que deux ‘sans perte de généralité’ successifs, fondés sur la symétrie de l’expression de deux variables est valide ?
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