Limite d'une somme

michal · March 2020

Bonjour

Soit $f: \R \rightarrow \R$ continue et $1$-périodique et $\alpha\in \R$ un irrationnel. Soit $x\in \R$. Il faut montrer que :
$$
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x+k\alpha)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \int_{0}^{1} f(t) dt
$$
Ca peut se faire apparemment à l'aide de l'équirépartition ou alors comme corollaire du théorème ergodique de Von-Neumann.

Ma question : existe-t-il des démonstrations plus élémentaires ?

Merci d'avance

Michal

Poirot · March 2020

Le problème c'est que ce résultat consiste exactement à dire que la suite des parties fractionnaires des $k \alpha$ est équirépartie dans $[0, 1]$, donc je ne vois pas comment tu comptes t'en tirer, autrement qu'en montrant, avec les techniques usuelles (critère de Weyl) que cette suite est équirépartie.

BobbyJoe · March 2020

Il suffit d'observer la convergence sur les éléments de la famille de fonctions $1-$périodiques et continues $\displaystyle (\phi_{k}:x\mapsto e^{2ik\pi x})_{k\in \mathbb{Z}}$ et d'utiliser le théorème de Weierstrass (trigonométrique) pour conclure.

Les théorèmes ergodiques concernent la convergence presque sûre des moyennes "empiriques" pour des classes de foctions peu régulières (à savoir $L^{1}$) même s'il est vrai que l'on peut observer un renforcement du mode de convergence si les applications en jeu sont plus régulières (comme ici $\mathcal{C}^{0}$).