Équation trigonométrique

abernard · March 2020

Bonjour, voici un exercice sur lequel je sèche.

Résoudre l'équation $\arctan(\frac{1}{x}) + \arctan(\frac{1}{x-3}) + \arctan(\frac{1}{x+3}) = \frac{\pi}{4} $ en sachant que $x$ satisfait à une équation du troisième degré dont une solution est entière.

Je n'ai absolument aucune idée de comment démarrer... J'ai tracé la fonction sur Geogebra pour me donner des idées, du coup je vois quelles sont les solutions, mais pour les trouver par le calcul je ne vois pas.

Twisted_Fate · March 2020

$$ \tan(x+y+z) = \dfrac{\tan x + \tan y +\tan z - \tan x\tan y\tan z}{1- \tan x\tan y - \tan x\tan z - \tan y\tan z} .
$$ Ça peut t'aider non ?

bisam · March 2020

Tout d'abord, montre l'existence et l'unicité de la solution en montrant que la quantité à gauche est une fonction bijective de $x$ entre des intervalles que je te laisse préciser.
Ensuite, passe le arctan(1/x) à droite et prends la tangente des deux côtés... cela devrait déjà pas mal aider.

Quant à ton "sachant que ...", en fait, c'est sans doute une indication pour ton exercice. Tu vas aboutir à cette équation avec les pistes que je viens de te donner.

abernard · March 2020

Merci ! J'ai bien trouvé la solution.

Équation trigonométrique

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