Fonction monotone continue
Bonjour,
Je me rends compte que certains détails de cette démonstration m'échappent.
Il suffit de démontrer que si $f$ n'est pas continue alors $f(I)$ n'est pas un intervalle. On peut quitte à passer à l'opposé, supposer que $f$ est croissante.
Déjà je n'ai pas trop compris le quitte à passer à l'opposé. Passer à l'opposé dans quoi ?
Supposons que $f$ soit non continue en $x \in I$. Supposons de plus pour commencer, que $x$ soit dans l'intérieur de $I$. On a alors $f(x^+) \ne f(x)$ c'est-à-dire $f(x^+)>f(x)$. Pour $t \in I$ si $t \leq x$ on a $f(t) \leq f(x)$. Et si $t>x$ on a $f(x^+) \leq f(t)$.
Fixons $t>x$ ce qui est possible puisque $x$ est intérieur à $I$. On a $f(x)$ et $f(t)$ dans l'image mais $[f(x),f(t)] \not\subset f(I)$ du fait qu'aucune valeur de $]f(x),f(x^+)[$ n'appartient à l'image. Ainsi $f(I)$ n'est pas un intervalle.
Si $x$ est une extrémité, comment faire ? Comment $f$ peut ne pas être continue en une extrémité ?
Je me rends compte que certains détails de cette démonstration m'échappent.
Il suffit de démontrer que si $f$ n'est pas continue alors $f(I)$ n'est pas un intervalle. On peut quitte à passer à l'opposé, supposer que $f$ est croissante.
Déjà je n'ai pas trop compris le quitte à passer à l'opposé. Passer à l'opposé dans quoi ?
Supposons que $f$ soit non continue en $x \in I$. Supposons de plus pour commencer, que $x$ soit dans l'intérieur de $I$. On a alors $f(x^+) \ne f(x)$ c'est-à-dire $f(x^+)>f(x)$. Pour $t \in I$ si $t \leq x$ on a $f(t) \leq f(x)$. Et si $t>x$ on a $f(x^+) \leq f(t)$.
Fixons $t>x$ ce qui est possible puisque $x$ est intérieur à $I$. On a $f(x)$ et $f(t)$ dans l'image mais $[f(x),f(t)] \not\subset f(I)$ du fait qu'aucune valeur de $]f(x),f(x^+)[$ n'appartient à l'image. Ainsi $f(I)$ n'est pas un intervalle.
Si $x$ est une extrémité, comment faire ? Comment $f$ peut ne pas être continue en une extrémité ?
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Réponses
Donc on peut supposer f croissante.
Pour x une extrémité (par exemple extrémité droite) tu peux refaire la démo avec t dans ]f(x-),f(x)[
Disons qu'on veut montrer une propriété $P$ sur une classe d'objets. On fixe $A$ dans cette classe (les fonctions monotones, par exemple). On dit alors : « quitte à remplacer $A$ par $B$, on peut supposer que $A$ a la propriété $Q$. » C'est un raccourci pour trois phrases :
- à tout $A$, l'objet $B$ qui lui correspond a toujours les mêmes propriétés que $A$ (il est dans la classe qui nous intéresse) et en plus, il a la propriété $Q$ ;
- si on sait que $B$ a la propriété voulue $P$ alors $A$ l'a aussi ;
- je vais donc démontrer la propriété $P$ pour $B$.
Selon une autre phrase classique dans ce contexte, « il suffit de démontrer la propriété pour les objets $A$ qui ont la propriété $Q$ ».Ici, on veut montrer que [si] une fonction $f$ [est] monotone et n'est pas continue, alors $f(I)$ n'est pas un intervalle.
Si $f$ est croissante, on ne fait rien. Si $f$ est décroissante, on lui associe la fonction $g=-f$. Alors :
1) $g$ est monotone et elle n'est pas continue (pourquoi ?) et en plus, $g$ est croissante ;
2) si $g(I)$ n'est pas un intervalle, alors $f(I)$ non plus (en effet, si $f(I)$ est l'intervalle $(a,b)$, alors $g(I)$ est l'intervalle $(-b,-a)$) ;
3) on démontre maintenant que l'image d'une fonction croissante et discontinue n'est pas un intervalle.