Équation différentielle fonctionnelle

Stator · March 2020

Bonjour
Quelqu'un connait-il une méthode pour résoudre ce genre d'équation ? $$
(ax+b)f(cx)+xf'(x)+f(x)=0.
$$ Merci.

YvesM · March 2020

Bonjour,

Difficile dans le cas général. On peut traiter $b=0$, $c=0,1,-1$...

As-tu des valeurs particulières ?

Tu peux aussi chercher une solution générale développable en série entière.

Stator · March 2020

Merci. Voici l'équation sur laquelle je suis tombé

$$\left(2^{-3/2}x+1\right)f\left(x/2\right)+xf'(x)+f(x)=0$$

Je me contenterai du comportement asymptotique de $f$ lorsque $x$ est grand. Les logiciels de calculs formels savent -il faire ça?

Homo Topi · March 2020

Peut-on se débarrasser du $f(x/2)$ en supposant quelque chose comme $f$ convexe, peut-être ? Transformer l'équation en inéquation, puis raisonner sur le cas d'égalité ?

Je suis toujours fasciné par la facilité avec laquelle on peut écrire des équa-diff difficiles/impossibles à résoudre.

etanche · March 2020

Idées solutions en séries entières

Stator · March 2020

J'ai essayé mais c'est assez compliqué d'en déduire les coefficients.

YvesM · March 2020

Bonjour,

On pose $g(x)=x f(x).$ Et alors $g’(x)=-h(x) g(x/2)$ avec $h(x)={1\over \sqrt{2}} +{2\over x}.$
On a $h(x)\sim {1\over \sqrt{2}},(x\to +\infty).$
On cherche tout simplement une série entière : $g(x)=\sum_{k\geq 0} a_k x^k$ et on reporte $\displaystyle a_k={(-1)^k\over k!} {1\over 2^{k^2-k(k-1)/2}} a_0$ pour tout $k\geq 0.$

Vérifie les calculs.