C'est une erreur de penser que c'est la fonction réciproque $f^{-1}$ appliquée à $a$. Cette application n'est pas injective, vois-tu pourquoi ? Par exemple parce que $f(-x,y,z)=f(x,-y,z)=f(-x,-y,z)$ pour tout $(x,y,z)$. Ou bien, parce que si on fixe $a$, $x$ et $y$ quelconques, avec simplement $y$ non nul, on trouvera toujours un $z$ tel que $f(x,y,z)=a$. Ça produit une infinité d'antécédents pour tout $a$.
Lorsque $a \neq 0$, l'équation $x^2 -zy^2=a$ peut se réécrire $\dfrac{x^2}{a} - \dfrac{zy^2}{a} = 1$. Sous certaines conditions (sur $a$ et $z$), ça fait penser à des coniques...
Au lieu d'écrire abusivement $f^{-1}(a)$ tu ferais mieux d'écrire proprement $f^{-1}(\{a\})$, notation sans ambiguïté qui sera comprise par tout le monde.
On remarque que pour y non nul fixé et x fixé, il y a exactement une valeur de z pour laquelle f(x,y,z) = a. Ceci nous donne une surface. Reste à voir si elle se prolonge au plan d'équation y=0. Pour a<0, l'équation n'a pas de solution, pour $a\ge 0$, il y a deux points dans le plan.
Réponses
C'est bien ce que j'avais remarqué mais l'énoncé dit : " Que peut-on dire sur l'ensemble X = f^(-1) (a) avec a réel non nul?
Je dis juste qu'il est infini ou non dénombrable ?
Je "cafouille" dans ces notions , excusez moi , je suis en reprise d'études
On remarque que pour y non nul fixé et x fixé, il y a exactement une valeur de z pour laquelle f(x,y,z) = a. Ceci nous donne une surface. Reste à voir si elle se prolonge au plan d'équation y=0. Pour a<0, l'équation n'a pas de solution, pour $a\ge 0$, il y a deux points dans le plan.
Cordialement.
Du coup j'ai imprimé un cours sur les coniques que je suis en train de potasser!!!!
Grâce à vous
Mon confinement se passe coniquement;-);-);-)