Existence d'une primitive rationnelle
Bonsoir,
Soit $a,b,c$ trois nombres complexes et $F$ la fraction : $F(X)=\dfrac{aX^2+bX+c}{(X-1)^2 (X-2)^2}$
Trouver une condition suffisante sur $a,b,c$ pour que $F$ admette une primitive rationnelle.
En fait j'ai fait les calculs mais je ne comprends pas l'énoncé.
J'ai trouvé $F=\dfrac{4a+3b+2c}{X-1}+\dfrac{-4a-3b-2c}{X-2}+\dfrac{a+b+c}{(X-1)^2}+\dfrac{4a+2b+c}{(X-2)^2}$
Soit $a,b,c$ trois nombres complexes et $F$ la fraction : $F(X)=\dfrac{aX^2+bX+c}{(X-1)^2 (X-2)^2}$
Trouver une condition suffisante sur $a,b,c$ pour que $F$ admette une primitive rationnelle.
En fait j'ai fait les calculs mais je ne comprends pas l'énoncé.
J'ai trouvé $F=\dfrac{4a+3b+2c}{X-1}+\dfrac{-4a-3b-2c}{X-2}+\dfrac{a+b+c}{(X-1)^2}+\dfrac{4a+2b+c}{(X-2)^2}$
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Réponses
$x \mapsto \dfrac{1}{x-1}$ admet pour primitive $\ln |x-1|$ qui n'est pas une fraction rationnelle.
Il suffit donc de prendre nuls les coefficient devant les fraction rationnelles qui, intégrées, deviendront les log.
Les fractions rationnelles de la forme $(x-a)^{-2}$ admettent comme primitive $x \mapsto -\dfrac{1}{x-a}$ qui est bien une fraction rationnelle.
Ses primitives sur $\R$ sont-elles des fractions rationnelles ?
L'arctangente n'est pas une fraction rationnelle à ma connaissance.