Dérivée

D'accord merci ! Votre méthode aboutit parfaitement :-)

Posons $f(x)=(x-a)^n$ avec $a \in \C$

$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{(x+h-a)^n-(x-a)^n}{h} $

Or $(x+h-a)^n-(x-a)^n =h \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (x+h-a)^k (x-a)^{n-k-1} $

Donc $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (x+h-a)^k (x-a)^{n-k-1} \\ = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (x-a)^k (x-a)^{n-k-1} = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (x-a)^{n-1} \\ = (x-a)^{n-1} \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}1 = \boxed{n (x-a)^{n-1}} $

Pour la justification de l'avant dernière ligne : les fonctions polynomiales complexes de la variable réelles sont continues sur $\R$ donc à fortiori en $0$.