Dl à l'ordre 3 en 0
Bonjour
J'ai commencé à chercher un exo dont je n'arrive pas à me sortir.
Il s'agit de calculer le DL à l'ordre 3 en 0 de $\dfrac {\sin(\exp(x) -1) }{\sin(x)} $.
J'ai donc commencé par $\sin(\exp(x)-1)$ en 0 à l'ordre 3, j'ai obtenu $(\exp(x)-1) - \frac {1}{6} (\exp(x)-1)^3 +o((\exp(x)-1)^3)$.
Puis pour $\frac {1}{\sin(x)}$ en 0 à l'ordre 3, j'ai
$ \dfrac {1}{x(1 - \frac {x^2}{6})} + o(x^3) = \frac {1}{x} ( 1 + \frac {x^2}{6} + \frac {x^4}{36} + o(x^4)),$
ce qui me donne enfin $\frac {1}{x} + \frac {x}{6} + \frac {x^3}{36} + o(x^3) $
À partir de là je ne sais pas comment terminer mon calcul.
Merci d'avance pour votre aide.
J'ai commencé à chercher un exo dont je n'arrive pas à me sortir.
Il s'agit de calculer le DL à l'ordre 3 en 0 de $\dfrac {\sin(\exp(x) -1) }{\sin(x)} $.
J'ai donc commencé par $\sin(\exp(x)-1)$ en 0 à l'ordre 3, j'ai obtenu $(\exp(x)-1) - \frac {1}{6} (\exp(x)-1)^3 +o((\exp(x)-1)^3)$.
Puis pour $\frac {1}{\sin(x)}$ en 0 à l'ordre 3, j'ai
$ \dfrac {1}{x(1 - \frac {x^2}{6})} + o(x^3) = \frac {1}{x} ( 1 + \frac {x^2}{6} + \frac {x^4}{36} + o(x^4)),$
ce qui me donne enfin $\frac {1}{x} + \frac {x}{6} + \frac {x^3}{36} + o(x^3) $
À partir de là je ne sais pas comment terminer mon calcul.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
J'ai remanié mon calcul car même mon dl de $\frac {1}{sin(x)} $ était faux.
Je me retrouve donc avec dl de $sin(exp(x)- 1) = x + \frac {x^2}{2} + o(x^3)$
et celui de $\frac {1}{sin(x)} = \frac {1}{x} + \frac {x}{6} + \frac {7x^3}{360} + o(x^3)$
En multipliant ces termes je me retrouve avec $1 + \frac {x}{2} +\frac {x^2}{6} + \frac {x^3}{12} + o(x^3) $
Après consultation du résultat , il s'avère que le coeff en $x^3$ est $- \frac {1}{8} $ et je n'arrive pas à voir où est mon erreur
Essaie de commencer par ce que Poirot t'a proposé , c'est plus délicat.
Le resultat final doit être :
$ sin(e^{x} -1 ) = x + \frac{x²}{2} + o_{x \mapsto 0}(x^{3}) $
$ \frac{1}{sin(x)} = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + o_{x \mapsto 0}(x^{3}) $
Par un petit produit tu pourra déduire ton développement en ne gardant que les puissances inférieur à 3
Bon courage (:D
J'ai repris le calcul et tout roule maintenant, merci.
D'ailleurs y a-t-il des trucs pour savoir à quelle ordre il faut développer (au moins dans certains cas) ou c'est toujours plus ou moins à tâtons ?
La somme de deux DL donne toujours un DL d'ordre le plus petit des deux. Donc, il faut faire en sorte que les deux DL en question soient au même ordre au moment où on les somme pour éviter d'avoir des calculs en trop.
La multiplication de deux DL peut faire augmenter l'ordre du produit. Si le DL de $f$ est de valuation $a$ et d'ordre $a'$ et le DL de $g$ est de valuation $b$ et d'ordre $b'$ alors le DL de $fg$ sera d'ordre égal au minimum de $a'+b$ et $a+b'$. Par conséquent, connaissant $a$ et $b$, on peut choisir les valeurs de $a'$ et $b'$ pour que $a'+b=a+b'$ afin à nouveau d'éviter des calculs supplémentaires inutiles.
La division de deux DL peut faire diminuer l'ordre du quotient. Si le DL de $f$ est de valuation $a$ et d'ordre $a'$ et le DL de $g$ est de valuation $b$ et d'ordre $b'$ alors $\frac{f}{g}$ possédera un DL seulement si $a\geq b$. Par ailleurs, le quotient sera d'ordre égal au minimum de $a'-b$ et $b'+a-2b$. Par conséquent, connaissant $a$ et $b$, on peut choisir les valeurs de $a'$ et $b'$ pour que $a'-b=b'+a-2b$, c'est-à-dire $a'+b=a+b'$ afin à nouveau d'éviter des calculs supplémentaires inutiles.
La composée de deux DL est plus délicate. Si le DL de $f$ est de valuation $a$ et d'ordre $a'$ et le DL de $g$ est de valuation $b\geq 1$ et d'ordre $b'$ alors $f\circ g$ possédera un DL d'ordre égal au minimum de $a'b$ et $ab+b'-b$. Par conséquent, connaissant $a$ et $b$, on peut choisir les valeurs de $a'$ et $b'$ pour que $a'b=ab+b'-b$ afin à nouveau d'éviter des calculs supplémentaires inutiles.
J'espère ne pas avoir fait d'erreurs dans tous ces rappels...
Posons $u(x)=e^x-1$ On a $\lim\limits_{x \rightarrow 0} e^x-1=0$.
Le DL à l'ordre 3 du $u$ est $\boxed{u(x)=x(1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{6} + o(x^2))}$
Or $\sin(u)=u - \dfrac{u^3}{6} + u^3 \varepsilon(u)$ où $\lim\limits_{u \rightarrow 0} \varepsilon(u)=0$
Puis exprimer le DL de $u^3$.
Je vous laisse terminer.
Merci pour ton étude, je ne m'étais jamais plongé avec autant de précision sur ces choses-là.
Sauf erreur de ma part, ta propriété sur la composition est mise en défaut si $a=0$.
Par exemple $f(x)=\cos x=1-\frac{x^2}{2} + o(x^2)$ et $g(x)=e^x-1=x+\frac{x^2}{2} + o(x^2)$. Alors $(a,a',b,b')=(0,2,1,2)$, d'où $\min(a'b,ab+b'-b)=1$, alors que la composition de ces deux DL est un DL d'ordre 2 de $f \circ g$.
Dans les faits tout ceci n'est pas gênant, il suffit de considérer $f(x)-f(0)$ pour avoir $a \geq 1$.
Gilles.