Séries entières
dans Analyse
Bonjour à tous, j'ouvre ce fil pour que les experts partagent et listent leur connaissance des liens entre fonctions connues et certaines séries. Je commence (hélas, je bats le record d'inculture, mais je suis curieux):
$\exp =z\mapsto \sum_n \ z^n/(n!)$
$1/(1-z) = \sum_n z^n$
C'est à peu près tout ce que je sais. Par exemple, a-t-on nommé et étudié la fonction : $$
x\mapsto \sum_n \ x^n / (ppcm(2,3,\dots n)$$
$\exp =z\mapsto \sum_n \ z^n/(n!)$
$1/(1-z) = \sum_n z^n$
C'est à peu près tout ce que je sais. Par exemple, a-t-on nommé et étudié la fonction : $$
x\mapsto \sum_n \ x^n / (ppcm(2,3,\dots n)$$
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
[Tu as aussi dans le corps du texte $\sum\limits_n \cdots$ (\sum\limits_n \cdots). AD]
Pour le montrer, il suffit de remarquer que $(n-1)^2\leq 4\times ppcm(2,\ldots,n)$ pour tout entier naturel $n\geq 2$.
Édit : Je crois après quelques recherches qu’en utilisant le théorème des nombres premiers, on peut montrer que le rayon de convergence de la série entière est $\textrm{e}$.
@CC : déjà avec ces deux séries tu peux retrouver pleins de séries connues par dérivation, intégration et séparation partie réelle/partie imaginaire.
Une autre classique qui ne se déduit pas immédiatement des autres est, pour $\alpha \in \mathbb C$ et $|z| < 1$, $$(1+z)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{k} z^n,$$ où $\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1) \dots (\alpha - k +1)}{k!}$.
@Stator, je ne suis pas sûr de savoir de laquelle tu parles, ni de quel nombre tu parles. Du rayon de convergence de celle évoquée par MrJ?
Pour retrouver ce présent fil,j'ai dû dérouler longtemps.
Tenez, incidemment, j'ai cliqué sur le pdf de marco: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1987392,1989084#msg-1989084
Et trouvé la SUPERSERIE TOUTE SIMPLE : $$
\ln\Big(\frac{1}{1-x}\Big) = \sum_n\ \frac{x^n}{n}.
$$ Sauf erreur de ma part.
Wikipédia: formulaire de développement en série entière
que je viens seulement de voir.
J'imagine que tu voulais dire "facilement équivalent au"
C'est enthousiasmant, car on "croit" que $ppcm$ est facile à calculer et ça semble montrer que "pas si sûr".
En plus, ça me donne envie d'évoquer (dont je ne sais pas dont elles sont DL) les séries:
$$ \sum_{n\geq 2} \frac{x^n}{a^n} $$
mais je crois savoir, vu que c'est, aux débuts près, $\sum_n (\frac{x}{a})^n$ et que $\sum_p b^p = \frac{1}{(1-b)}$
ce qui sauf erreur pourrait donner $\frac{1}{1-\frac{x}{a}}$ (à un polynôme près + ou fois une constante près)?
Bizarre, bon, je vais retourner bronzer dans le jardin le, j'ai manqué de respect au petit o :-D
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[small]Il pleut des Vérités Premières:
Tendons nos rouges tabliers.[/small] .
Est-ce que vous connaissez une fraction rationnelle définie, bornée et strictement croissante sur $\R$? Autrement dit qui se comporterait un peu comme
$$ x\longmapsto arctan(x) $$
On a une fraction rationnelle de la forme W=P/Q avec P et Q des polynômes. Si P est de degré strictement supérieur à Q alors W n'est pas bornée. Si P est de degré inférieur ou égal à Q alors les limites de W en plus et moins l'infini sont égales et donc W n'est pas strictement croissante.
Si $P = a_n X^m + \cdots + a_1X+a_0$ et $Q = b_n X^n + \cdots + b_1 X + b_0$ avec $a_j$ et $b_j$ des nombres réels tels que $a_m \neq 0$ et $b_n \neq 0$, on a
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} \underset{x \to \pm \infty}{\sim} \frac{a_m x^m}{b_n x^n} = \frac{a_m}{b_n} x^{m-n}.$$
Si $m > n$, cela montre que $\frac PQ$ n'est pas bornée, donc $m \leq n$.
Si $m < n$, on a
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow} 0,$$
ce qui n'est pas possible car $\frac PQ$ est strictement croissante.
On a donc nécessairement $m = n$, mais alors
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} \underset{x \to \pm \infty}{\longrightarrow} \frac{a_m}{b_n},$$
ce qui n'est toujours pas possible car $\frac PQ$ est strictement croissante.
EDIT: ce genre de fonctions, appelées fonctions d'activation, est très utilisé en machine learning, on utilise donc des trucs style $\arctan$ ou la sigmoïde $x \mapsto (1+\exp(-x))^{-1}$.
Elle fait bien sûr partie des fonctions d'activation citées ci-dessus.