Équation fonctionnelle f(2x)=f(x)^2

Bonjour,
Pour prolonger le message de BobbyJoe ci-dessus, dans le cas où f(0) = 1:
comme f est continue en 0, il existe a > 0 tel que |x| < a entraîne f(x) non nul.
Par la formule du message, on a donc f(x) non nul pour tout x réel, et dans ce cas f(x) > 0 pour tout x.
Il paraît alors judicieux de poser u(x) = ln(f(x)) et la formule devient:
u(x) = 2ⁿu(x/2ⁿ)
pour tout x et tout n.
Comme le dit BJ, on utilise le DL à l'ordre1 donné par la dérivée m = u'(0):
u(x) = mx + o(x) lorsque x tend vers 0.
Pour x fixé non nul, il reste à vérifier que pour tout r > 0, on a:
| f(x)/x - m | < r.
D'où...
Cordialement.

Pour le cas $f(0)=1$, un développement limité à l'ordre 1 donne le résultat. Pour $x$ fixé, on écrit : \[
\Big(f\big(\frac{x}{2^n}\big)\Big)^{2^n}=\exp\Big(2^n\ln\big(1+\frac{x}{2^n}f'(0)+o(2^{-n})\big)\Big)=\dots
\] et on conclut en faisant tendre $n$ vers l'infini.

Pour le cas $f(0)=0$, on peut faire la même chose... mais le développement limité à l'ordre 0 suffit.

Pour faire court : $0^{\infty}$ n'est PAS une "forme indéterminée"...

Si $f(0)=0$, il me semble que l’on a $f’(0)=0$ par positivité de la fonction $f$, et on trouve finalement que $f$ est nulle avec la limite de bisam.

Édit : Ou utiliser simplement la continuité de $f$ en 0.