Une identité sur les polynômes
Bonjour
Il semblerait que si $P$ est un polynôme de degré $2$ alors $1 P(X + 3) - 3 P(X + 2) + 3 P(X+ 1) - P(X) = 0$.
De même, si $P$ est un polynôme de degré $3$ alors $1P(X + 4) - 4 P(X + 3) + 6 P(X + 2) - 4 P(X + 3) + P(X + 4) = 0.$
De manière générale, il semblerait que si $P$ est de degré $n$, alors pour tout $x$, $$ \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n+1}{k}(-1)^{n+1-i}P(x + k) = 0.
$$ Mais je ne "vois" pas pourquoi cela est vrai.
Même en simplifiant le problème et en prenant $P = X^n$ et $x = 0$, j'obtiens :
$\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^{k +1} k^n $,
ce que je n'arrive pas non plus à démontrer.
Pourriez-vous m'aider ? L'une de ces formules a-t-elle un nom ?
Merci.
Alain.
Il semblerait que si $P$ est un polynôme de degré $2$ alors $1 P(X + 3) - 3 P(X + 2) + 3 P(X+ 1) - P(X) = 0$.
De même, si $P$ est un polynôme de degré $3$ alors $1P(X + 4) - 4 P(X + 3) + 6 P(X + 2) - 4 P(X + 3) + P(X + 4) = 0.$
De manière générale, il semblerait que si $P$ est de degré $n$, alors pour tout $x$, $$ \sum_{k = 0}^{n + 1} \binom{n+1}{k}(-1)^{n+1-i}P(x + k) = 0.
$$ Mais je ne "vois" pas pourquoi cela est vrai.
Même en simplifiant le problème et en prenant $P = X^n$ et $x = 0$, j'obtiens :
$\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} (-1)^{k +1} k^n $,
ce que je n'arrive pas non plus à démontrer.
Pourriez-vous m'aider ? L'une de ces formules a-t-elle un nom ?
Merci.
Alain.
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Réponses
J'ai trouvé ça assez étrange et ai vérifié ta conjecture sur maxima. On peut trouver des contre-exemples à la pelle dés que ton polynôme de degré $n$ n'est pas de type $A(X-\alpha)^n$ ($A$ et $\alpha$ deux constantes). Par contre, ça a l'air correct quand c'est de cette forme là. Du coup, tu n'as qu'à te concentrer sur les monômes de type $X^n$ (puis tu généralises "par translation").
Et pour ta 2ème égalité, le changement de variable Y=X+2 ...
Et tu devrais trouver ta démonstration. Et même une propriété un peu plus générale il me semble.
Pour un exercice un peu plus détaillé : voir l’exercice 35 de ce Lien.
On définit l'opérateur $\Delta$ qui au polynôme $P(X)$ associe le polynôme $\Delta P(X)=P(X+1)-P(X)$. On définit aussi l'opérateur $T$ qui au polynôme $P(X)$ associe le polynôme $TP(X)=P(X+1)$. On note $I$ l'identité. Ce sont des endomorphismes du $\mathbb C$-espace vectoriel $\mathbb C [X]$.
On a : $\Delta =T-I$, d'où : $\displaystyle \Delta ^{n}=(T-I)^{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\binom{n}{k}%
(-1)^{n-k}T^{k}$, ce qui implique : $\displaystyle \Delta ^{n}P(X)=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\binom{n}{k}%
(-1)^{n-k}T^{k}P(X)=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}P(X+k)$.
Mais il est clair que si $P(X) \neq 0$ alors $\deg \Delta P(X)=\deg P(X) -1$.
On en déduit que si $n >\deg P(X)$, alors : $\displaystyle \Delta ^{n}P(X)=0$, soit : $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}\binom{n}{k}(-1)^{n-k}P(X+k)=0$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Merci beaucoup pour cette réponse.
Pour Chaurien : c'est effectivement en lien avec la lecture d'un texte sur les ''différences finies'' que j'ai croisé cette identité qui ne me semblait pas évidente. Merci pour les détails, c'est très clair.
Je n'ai plus qu'à faire l'exercice de Mr J pour être sûr d'avoir bien assimilé !
Alain.