Le critère de Leibniz convergence série
Bonjour à vous, je n'ai pas compris la correction d'un exercice.
Ils nous demande d'étudier la convergence simple de cette série de fonction :
$\sum \left ( \left ( -1 \right )^{n}\ln \left ( 1+\frac{x}{n} \right ) \right )$ définie pour $x\in [-n,+\infty ]$.
Pour résoudre le problème j'ai utilisé le critère de Liebniz et chercher pour quelle $x$ la suite $( \ln(1+(x/n) )$ est décroissante j'ai trouvé qu'elle est décroissante pour $x$ appartenant à $[ 0 , +\infty ]$ donc elle est convergente sur $[ 0 , +\infty ]$.
Sur l'intervalle $[ -n , 0 ]$ elle est croissante et elle a des valeurs négatives je n'en ai rien conclu.
Dans la correction il ont étudié la suite $( -\ln(1+(x/n) )$ et non pas $( \ln(1+(x/n) )$ et évidemment ils ont trouvé qu'elle est décroissante c'est comme si ils ont pris la valeur absolue de la suite. Or dans le critère de Liebniz on etudie la monotonie de la suite et non pas sa valeur absolue c'est ce que je n'ai pas compris !
Pouvez-vous m'éclaircir le problème s'il vous plaît.
voici la photo du corrigé dont je parle.
Ils nous demande d'étudier la convergence simple de cette série de fonction :
$\sum \left ( \left ( -1 \right )^{n}\ln \left ( 1+\frac{x}{n} \right ) \right )$ définie pour $x\in [-n,+\infty ]$.
Pour résoudre le problème j'ai utilisé le critère de Liebniz et chercher pour quelle $x$ la suite $( \ln(1+(x/n) )$ est décroissante j'ai trouvé qu'elle est décroissante pour $x$ appartenant à $[ 0 , +\infty ]$ donc elle est convergente sur $[ 0 , +\infty ]$.
Sur l'intervalle $[ -n , 0 ]$ elle est croissante et elle a des valeurs négatives je n'en ai rien conclu.
Dans la correction il ont étudié la suite $( -\ln(1+(x/n) )$ et non pas $( \ln(1+(x/n) )$ et évidemment ils ont trouvé qu'elle est décroissante c'est comme si ils ont pris la valeur absolue de la suite. Or dans le critère de Liebniz on etudie la monotonie de la suite et non pas sa valeur absolue c'est ce que je n'ai pas compris !
Pouvez-vous m'éclaircir le problème s'il vous plaît.
voici la photo du corrigé dont je parle.
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Réponses
" Or dans le critère de Leibniz onétudie la monotonie de la suite et non pas sa valeur absolue". Non ! revois ton cours. Une suite alternée peut d'ailleurs difficilement être monotone !!
Cordialement.
[orthographe de Leibniz corrigée]
D'apres wiki ; il existe une autre orthographe, Leibnitz avec -tz ; si, comme le fait remarquer Kuno Fischer, cette orthographe est plus conforme à l'origine slave du nom de Leibniz, l'orthographe en -z est celle que Leibniz lui-même utilisait (même si l'orthographe en -tz était devenue l'orthographe courante de son nom de son vivant, il ne l'a jamais utiliséeR 1) ; par ailleurs il n'y a en allemand aucune différence de prononciation
ta série génératrice de la fonction f de variable réelle x s'écrit :
$f(x) = -ln(1+x) + ln(1+x/2) - ln(1+x/3) + ln(1+x/4)-.......= ln\frac{(1+x/2)(1+x/4)(1+x/6).........}{(1+x)(1+x/3)(1+x/5)..........}$
f n'est définie que pour x > - 1 strictement (et non pas - n ce qui ne veut rien dire)
la convergence de la série ne pose pas de problème car une fois les logarithmes développés
elle présente des coefficients des monômes qui sont des séries de Riemann convergentes de signe alterné
f est une fonction classique liée à la fonction eulérienne Gamma,
$$f(x) = - ln\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(1+\frac{x}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2} + \frac{x}{2})}$$
la fonction f est bien définie pour x > - 1, f est monotone décroissante,
elle s'annule pour x = 0 en effet $\Gamma(1) = 1$ et $\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}$
lorsque x tend vers - 1 à droite elle tend vers +oo
en effet $\Gamma(x)$ tend vers +oo lorsque x tend vers 0+
lorsque x tend vers + oo alors elle tend vers - oo
en effet son équivalent asymptotique est $-\frac{1}{2}ln\frac{\pi.x}{2}$
on peut déterminer quelques images par f de :
x = - 1/2 alors $f(-1/2) = -ln\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(3/4)}{\Gamma(1/4)} = ln\frac{4\omega}{\pi}$
image positive car la constante de la lemniscate $\omega = 1,311...$
x = 1/2 alors $f(1/2) = - ln\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(5/4)}{\Gamma(3/4)}=- ln\omega$
image négative
x = 1 alors $f(1) = - ln\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)} = - ln\frac{\pi}{2}$
image négative qu'on peut déterminer aussi à partir de la série originelle
avec les limites numériques conséquences des intégrales de Wallis
cordialement
Mon correcteur orthographique accepte les deux orthographes :-D