Motzkin et la formule de Newton

Bonjour, sanji,

à vue de nez, je pense moi aussi qu'il faut développer $(2z-3z^2)^n$ par la formule du binôme ; on obtient alors une double somme, de la forme $\displaystyle\sum_n\sum_p$ et on la récrit par paquets, chaque paquet étant formé des termes ayant le même exposant en $z$, càd $\displaystyle\sum_m\big((\sum_p...)z^m\big)$. Essaie voir !

Cordialement, j__j

Ça ne me semble pas avancer beaucoup. Il y a une erreur dès la deuxième égalité : l'exposant de $-2z$ est $k$ et pas $n$. Il est incompréhensible de traîner des signes $-$ ; en fait, c'est très étrange de développer $-2z-3z^2$ plutôt que de sortir $(-1)^n$ et de développer $2z+3z^2$. Il serait raisonnable de factoriser $z$ dans le même mouvement.

Par ailleurs, il faudrait expliciter le « coefficient binomial » $\binom{1/2}{n}$ et faire apparaître les produits de nombres impairs consécutifs qu'on récrit sous une forme proche de $(2n)!/n!^2$ à une puissance de $2$ près, ce qui commence à ressembler à des nombres de Catalan.

Non, pas ce soir...