Prolongement de zeta défini en 0
Bonsoir,
Je tiens à préciser que je suis en première année de prépa et donc que ma compréhension des maths est encore assez faible, merci d'avance pour votre indulgence...
D'après ce-que j'ai pu comprendre, la fonction zeta (celle de base) n'étant définie que pour les complexes dont la partie réelle est supérieure à 1, elle peut être prolongé.
Le prolongement dont j'aimerais parler ici est celui que l'on obtient par une équation fonctionnelle (avec les fonctions sinus et gamma).
Selon moi ce prolongement n'est pas défini en 0 car la fonction zeta d'origine n'est pas définie en 1.
Pourtant, j'ai vu que l'on pouvait utiliser un calcul de limite, et je ne comprends pas en quoi on a le droit de le faire et de poser ça comme ça... Je me doute que c'est possible si les mathématiciens le font, mais je ne vois pas en quoi c'est rigoureux.
J'aimerais également savoir si un autre prolongement de zeta existe, mais cette fois-ci défini en 0 sans calcul de limite.
Merci d'avance !
Je tiens à préciser que je suis en première année de prépa et donc que ma compréhension des maths est encore assez faible, merci d'avance pour votre indulgence...
D'après ce-que j'ai pu comprendre, la fonction zeta (celle de base) n'étant définie que pour les complexes dont la partie réelle est supérieure à 1, elle peut être prolongé.
Le prolongement dont j'aimerais parler ici est celui que l'on obtient par une équation fonctionnelle (avec les fonctions sinus et gamma).
Selon moi ce prolongement n'est pas défini en 0 car la fonction zeta d'origine n'est pas définie en 1.
Pourtant, j'ai vu que l'on pouvait utiliser un calcul de limite, et je ne comprends pas en quoi on a le droit de le faire et de poser ça comme ça... Je me doute que c'est possible si les mathématiciens le font, mais je ne vois pas en quoi c'est rigoureux.
J'aimerais également savoir si un autre prolongement de zeta existe, mais cette fois-ci défini en 0 sans calcul de limite.
Merci d'avance !
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Réponses
Cette fonction peut être prolongée en une fonction holomorphe sur tout le plan complexé privé du nombre $1$ en $s=1$ cette fonction est méromorphe.
PS:
Sauf erreur, la fonction zeta prolongée vérifie Pour tout $s$ complexe différent de $1$, $\zeta(s)=\dfrac{1}{1-s}+F(s)$
Où $F$ est une fonction définie et holomorphe sur tout le plan complexe.
PS2:
Ben oui, $\zeta(s)-\dfrac{1}{1-s}$ est une fonction définie et holomorphe sur tout le plan complexe.
(c'est un abus de langage, cela signifie que $\lim_{s\rightarrow 1}\left(\zeta(s)-\dfrac{1}{1-s}\right)$ a une limite)
La propriété d'être une fonction holomorphe sur un ouvert est une propriété contraignante.
Un théorème résume en quelque sorte cette contrainte qui s'exerce.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Prolongement_analytique
Comme l'a également dit Fin de Partie, des théorèmes de base d'analyse complexe montrent facilement que la fonction est initialement définie sur $\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(s) > 1\}$ (et pas $1/2$ comme tu l'as dit). Elle admet un prolongement méromorphe (c'est-à-dire dérivable au sens complexe sauf en certains points isolés) à $\mathbb C$ tout entier. Le seul point en lequel la fonction n'est pas holomorphe (c'est-à-dire dérivable au sens complexe) est $1$, où l'on dit qu'elle admet un pôle simple de résidu $1$. Plus précisément, ça veut dire que $\lim_{s \to 1} |\zeta(s)| = +\infty$ (pôle en $1$) et que $F : s \mapsto \zeta(s) - \frac{1}{s-1}$ est holomorphe et donc bornée sur un voisinage de $1$ (simple car la puissance du dénominateur est $1$, résidu $1$ à cause du $1$ du numérateur de la fraction précédente).
Sinon, pour t'expliquer un peu plus ce qu'il se passe en zéro, je rappelle l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta$ : $$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$ pour tout nombre complexe $s \not \in \mathbb N$. Que se passe-t-il lorsque $s \to 0$ ? Le facteur $2^s \pi^{s-1}$ tend vers $\frac{1}{\pi}$, le sinus tend vers $0$, $\Gamma(1-s)$ tend vers $\Gamma(1) = 1$ et $\zeta(1-s)$ explose en module. Cependant, cette dernière quantité n'explose pas trop vite à cause de ce que l'on a écrit au-dessus : on a $\zeta(1-s) = \frac{1}{s} + F(1-s)$ tandis qu'on peut écrire $\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) = sf(s)$ pour une certaine fonction $f$ holomorphe au voisinage de $s$, et en distribuant tout ce petit monde dans l'équation fonctionnelle, on obtient que $\zeta$ admet une limite en $0$ (qui se trouve valoir $-\frac{1}{2}$ après calcul).
Autrement dit, on peut procéder à un prolongement par continuité en $0$ si tu veux, mais ici c'est beaucoup plus fort, le prolongement est en fait holomorphe en $0$. Le même genre de raisonnement montre par exemple que $\zeta(-2n)=0$ pour tout $n \in \mathbb N^*$, car $\Gamma$ admet des pôles simples en tout entier négatif et le facteur en sinus de l'équation fonctionnelle ne peut compenser qu'un pôle sur deux avec ses zéros, je te laisse t'en convaincre. Si ce n'est pas clair je pourrai écrire plus de détails si tu veux.
Appliquons cela à $a_n=1$ et $f : t \mapsto \frac{1}{t^s}$, avec $s \in \mathbb C$. Alors $$\sum_{n \leq x} \frac{1}{n^s} = \frac{\lfloor x \rfloor}{x^s} + s \int_1^x \frac{\lfloor t \rfloor}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t,$$ où j'ai bien sûr utilisé que $\sum_{n \leq x} 1 = \lfloor x \rfloor$.
Si $\mathfrak{Re}(s) > 1$, on peut passer à la limite en $x$, le premier terme disparaît en on obtient $$\zeta(s) = s \int_1^{+\infty} \frac{\lfloor t \rfloor}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t.$$ On réécrit maintenant $\lfloor t \rfloor = t - \{t\}$, où $\{t\}$ désigne la partie fractionnaire de $t$. On obtient \begin{align*}\zeta(s) &= s \int_1^{+\infty} \frac{t}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t - s \int_1^{+\infty} \frac{\{t\}}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t\\ &= \frac{s}{s-1} - s \int_1^{+\infty} \frac{\{t\}}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t\\ &= 1 + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{+\infty} \frac{\{t\}}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t \end{align*} et c'est exactement l'expression de ton document, à part que $s$ est remplacé par $1-s$.
Sinon j'ai compris le reste.
Et je crois voir une faute de frappe dans la définition de la partie fractionnaire, non ?
Pour le terme qui disparaît il suffit de regarder son module : $$\left|\frac{\lfloor x \rfloor}{x^s}\right| \leq \frac{1}{x^{\mathfrak{Re}(s)-1}} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0.$$
Malgré l'avoir posée sur feuille je n'arrive pas du tout à comprendre cette inégalité.
Je sais juste que $|e^z| = |e^a||e^{ib}|$ avec $z = a+ib$.
De plus, $\lfloor x \rfloor \leq x$ mais dans l'inégalité précédente, on n'a pas $x$ mais $x^s$.
Je pense que je m'embrouille un peu avec $s$...
Si on prend $s=1$, je vois que l'inégalité est correcte, mais je n'arrive pas à le prouver pour tout $s$ en fait.
Sinon j'ai bien $x^s = e^{s\ln(x)} = e^{a\ln(x)}e^{ib\ln(x)} = e^{a\ln(x)}(\cos(b\ln(x))+i\sin(b\ln(x)))$.
EDIT : Ahh je crois que ce n'est pas nécessaire d'aller plus loin pour passer au module car comme la fonction exponentielle est positive, on a $|e^{a\ln(x)}(\cos(b\ln(x))+i\sin(b\ln(x)))| = e^{a\ln(x)}|(\cos(b\ln(x))+i\sin(b\ln(x)))|$ et $|(\cos(b\ln(x))+i\sin(b\ln(x)))| = 1$ ?
EDIT 2 : Finalement je crois que mon EDIT est totalement faux...
PS:
Implicitement on suppose que $\zeta(0)$ existe.
Pour $|e^z|$ on a $|e^{ib}|=1$ pour tout réel $b$, tu peux le voir avec la forme trigonométrique si ça t'amuse. Au final on obtient $$|x^s| = e^{\mathfrak{Re}(s) x} = x^{\mathfrak{Re}(s)}.$$
il existe une relation fonctionnelle simple entre la fonction Zéta de Riemann définie par une série harmonique
$Z(x) = 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + ...........+ \frac{1}{n^x} +.......$
et la même série cette fois de termes de signe alterné soit
$Z_a(x) = 1 - \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} - ..........+(-1)^{n-1}\frac{1}{n^x}+......$
cette relation est : $Z(x) = \frac{Z_a(x)}{1-2^{1-x}}$
(il suffit de faire la soustraction membre à membre de la première série avec la seconde)
sachant que $Z_a(x)$ est définie quelle que soit x réelle et connaissant $Z_a(0) = 1/2$ (c'est la série d'Euler)
il vient le prolongement de $Z(x)$ en zéro soit : $Z(0) = - \frac{1}{2}$
par la même relation fonctionnelle on peut calculer le prolongement de Zéta pour x = 1/2 et x = - 1/2 soient :
$Z(1/2) = - 1,460354....$ et $Z(-1/2) = - 0,207886.....$
cordialement
Cette équation fonctionnelle permet, sauf erreur, de prolonger $\zeta$ pour tout nombre complexe de partie réelle strictement inférieure à $1$. Donc on sait implicitement que $\zeta(0)$ existe.
$\displaystyle \zeta(s) = 1 + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{+\infty} \frac{\{t\}}{t^{s+1}} \,\mathrm{d}t$ ?
Si tel est le cas, je t'invite à te demander pour quelle valeur de $s$ l'intégrale converge.
J'ai donné le contexte de ma question et la seule formule dont Poirot a donné une démonstration est celle que j'ai indiquée dans mon précédent message. Et, comme déjà indiqué et sauf erreur, cette formule ne permet pas de prolonger $\zeta$ pour $\Re(z)<0$.
La démonstration la plus économique du prolongement analytique de $\zeta$ à tout le plan complexe privé de $1$ me semble passer par la relation fonctionnelle de $\zeta$.
Tandis que, sauf erreur, avec la relation fonctionnelle de $\zeta$ on prolonge facilement sans rien faire de plus (au moins pour les nombres complexes $z$ tels que $\Re(z)\neq 1$ )
PS:
J'imagine qu'à chaque fois qu'on veut incorporer une "bande" supplémentaire au domaine de validité de cette formule il faut la bricoler à nouveau.
La philosophie est la suivante ici:
On a une formule qui est vraie sur un demi-plan $\Re(s)>a$ avec $a$ un réel:
$\zeta(s)=F(s)$
Mais la fonction $F$ est holomorphe sur une bande plus large, c'est à dire qu'elle est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>b$, avec $b$ un réel tel que $b<a$.
Le principe de prolongement analytique permet d'affirmer que l'identité $\zeta(s)=F(s)$ est vraie pour tout $s$ nombre complexe tel que $\Re(s)>b$. On a ainsi étendu la "bande" sur laquelle on a pu définir $\zeta$.
PS:
Dans ce qui précède il faut bien évidemment retirer le nombre $z=1$.
Il y a une autre manière (et sûrement plein d'autres encore) de prolonger $\zeta$, qui est très efficace : on commence par la formule facile $$\zeta(s)\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t-1} \,\mathrm{d}t$$ pour $\mathfrak{Re}(s) > 1$. On introduit $I(s)$ comme étant l'intégrale de la même intégrande sur un contour de Hankel (de $+\infty$ à $\varepsilon$, puis un tour du cercle de rayon $\varepsilon$, puis de $\varepsilon$ à $+\infty$). On montre que $I(s)$ ne dépend pas de $\varepsilon$, est entière et en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$ on obtient $I(s) = (e^{2i\pi s}-1)\Gamma(s)\zeta(s)$. Le prolongement méromorphe de $\Gamma$ à $\mathbb C$ donne alors celui de $\zeta$.
Pour la version dont tu parles avec la fonction $\theta$ de Jacobi, elle a le mérite de se généraliser aux fonctions $L$ de Dirichlet et aux fonctions $L$ de Hecke, elle a donc ma préférence.