Prolongement de zeta défini en 0

Tu prolonges en ce que tu veux en $s=0$ si tu abandonnes certaines propriétés de régularité comme la continuité.

La propriété d'être une fonction holomorphe sur un ouvert est une propriété contraignante.
Un théorème résume en quelque sorte cette contrainte qui s'exerce.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Prolongement_analytique

Tu auras beau faire des séries de fonctions, tu ne verras pas grand-chose sur la fonction $\zeta$, contrairement à ce que dit Twisted_Fate. Tout au plus tu verras des théorèmes justifiant qu'il s'agit d'une fonction de classe $\mathcal C^{\infty}$ sur $]1, +\infty[$.

Comme l'a également dit Fin de Partie, des théorèmes de base d'analyse complexe montrent facilement que la fonction est initialement définie sur $\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(s) > 1\}$ (et pas $1/2$ comme tu l'as dit). Elle admet un prolongement méromorphe (c'est-à-dire dérivable au sens complexe sauf en certains points isolés) à $\mathbb C$ tout entier. Le seul point en lequel la fonction n'est pas holomorphe (c'est-à-dire dérivable au sens complexe) est $1$, où l'on dit qu'elle admet un pôle simple de résidu $1$. Plus précisément, ça veut dire que $\lim_{s \to 1} |\zeta(s)| = +\infty$ (pôle en $1$) et que $F : s \mapsto \zeta(s) - \frac{1}{s-1}$ est holomorphe et donc bornée sur un voisinage de $1$ (simple car la puissance du dénominateur est $1$, résidu $1$ à cause du $1$ du numérateur de la fraction précédente).

Sinon, pour t'expliquer un peu plus ce qu'il se passe en zéro, je rappelle l'équation fonctionnelle de la fonction $\zeta$ : $$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$ pour tout nombre complexe $s \not \in \mathbb N$. Que se passe-t-il lorsque $s \to 0$ ? Le facteur $2^s \pi^{s-1}$ tend vers $\frac{1}{\pi}$, le sinus tend vers $0$, $\Gamma(1-s)$ tend vers $\Gamma(1) = 1$ et $\zeta(1-s)$ explose en module. Cependant, cette dernière quantité n'explose pas trop vite à cause de ce que l'on a écrit au-dessus : on a $\zeta(1-s) = \frac{1}{s} + F(1-s)$ tandis qu'on peut écrire $\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) = sf(s)$ pour une certaine fonction $f$ holomorphe au voisinage de $s$, et en distribuant tout ce petit monde dans l'équation fonctionnelle, on obtient que $\zeta$ admet une limite en $0$ (qui se trouve valoir $-\frac{1}{2}$ après calcul).

Autrement dit, on peut procéder à un prolongement par continuité en $0$ si tu veux, mais ici c'est beaucoup plus fort, le prolongement est en fait holomorphe en $0$. Le même genre de raisonnement montre par exemple que $\zeta(-2n)=0$ pour tout $n \in \mathbb N^*$, car $\Gamma$ admet des pôles simples en tout entier négatif et le facteur en sinus de l'équation fonctionnelle ne peut compenser qu'un pôle sur deux avec ses zéros, je te laisse t'en convaincre. Si ce n'est pas clair je pourrai écrire plus de détails si tu veux.

supp

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$\lfloor x \rfloor \leq x$ et pour le reste, calcul $|e^z|$ quand $z$ est un nombre complexe.

Quelle est la définition de $x^s$ ? Ici $x$ est un nombre réel strictement positif, et $s$ est un nombre complexe. Si tu ne vois pas, commence par te demander comment est défini $x^s$ lorsque $s$ est réel.

On peut mais ce n'est pas la question. On prend le logarithme de $x$, pas de $s$ ! Bon alors, comment est défini $x^s$ pour $s$ complexe ? Et donc que vaut $|x^s|$ d'après ce que tu as écris au dessus ?

Pour pouvoir considérer $\displaystyle \lim_{z\rightarrow 0}\zeta(z)$ il faut déjà avoir étendu la fonction $\zeta$ à un ouvert beaucoup "plus grand" que le demi-plan ouvert $\{z,\Re(z)>1\}$

Mais implicitement tu utilises le fait que tu as prolongé $\zeta$. Etablir ce prolongement n'est pas une évidence, selon moi.

PS:
Implicitement on suppose que $\zeta(0)$ existe.

Sauf erreur, dans le contexte, pour pouvoir parler de limite en $0$ il faut que la fonction considérée soit au moins définie "autour" de $0$. La fonction zeta '"originale" n'est définie que pour $\Re(Z)>1$

Kronecker: l'équation fonctionnelle qui est utilisée dans ce calcul (et rappelée par Poirot plus haut) permet de prolonger $\zeta$ en $0$ (mais pas que).

bonjour

il existe une relation fonctionnelle simple entre la fonction Zéta de Riemann définie par une série harmonique

$Z(x) = 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + ...........+ \frac{1}{n^x} +.......$

et la même série cette fois de termes de signe alterné soit

$Z_a(x) = 1 - \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} - ..........+(-1)^{n-1}\frac{1}{n^x}+......$

cette relation est : $Z(x) = \frac{Z_a(x)}{1-2^{1-x}}$

(il suffit de faire la soustraction membre à membre de la première série avec la seconde)

sachant que $Z_a(x)$ est définie quelle que soit x réelle et connaissant $Z_a(0) = 1/2$ (c'est la série d'Euler)

il vient le prolongement de $Z(x)$ en zéro soit : $Z(0) = - \frac{1}{2}$

par la même relation fonctionnelle on peut calculer le prolongement de Zéta pour x = 1/2 et x = - 1/2 soient :

$Z(1/2) = - 1,460354....$ et $Z(-1/2) = - 0,207886.....$

cordialement

Dans le calcul recopié plus haut par Kronecker l'équation fonctionnelle est utilisée.
Cette équation fonctionnelle permet, sauf erreur, de prolonger $\zeta$ pour tout nombre complexe de partie réelle strictement inférieure à $1$. Donc on sait implicitement que $\zeta(0)$ existe.

@FdP : oui bien sûr. Je disais simplement qu'avec l'approche de jean lismonde, on n'a aucune raison de savoir calculer $\zeta(0)$. Il est "bien connu" que son "$Z_a(0)$" vaut $1/2$, mais encore faut-il en apporter la preuve.

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Je confirme ce que propose side, j'ai déjà lu des démonstrations qui montrent le prolongement à $\{s \in \mathbb C \mid \mathfrak{Re}(s) > -k\}$ par récurrence sur $k$, en faisant des IPP convenables à partir de la formule en question.

Poirot, attention à ne pas confondre la formule sommatoire d'Abel avec la sommation par parties

Certes mais je ne mets pas ça sur le même plan, la sommation par parties est un résultat de mathématiques discrètes et la formule sommatoire d'Abel est un résultat d'analyse.

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