Constructions alternatives : intégrale (MPSI)

Bonjour,
Le problème avec ça Gérard, c'est que démontrer la relation de Chasles devient un enfer si on ne s'autorise que les subdivisions régulières. Et sinon, il faut montrer que la limite est indépendante de la subdivision, ce qui est tout autant infernal si on ne passe pas par les intégrales des fonctions en escalier. Un étudiant avait voulu faire ça il y a plusieurs moi et c'était trèèès compliqué.

Il y a plusieurs variantes de la démarche [intégrales des fonctions en escaliers puis intégrales des fonctions continues par morceaux] $(*)$. Avec le sup et l'inf des intégrales des fonctions en escalier supérieures et inférieures à la fonction comme l'a dit Héhéhé. Ou par exemple en montrant que si $(f_n)$ est une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers $f$, alors $(\int f_n)_n$ est de Cauchy (mais on déborde déjà du programme car il ne comporte pas les suites de Cauchy). Je ne connais pas de construction raisonnablement abordable en MPSI qui n'applique pas le schéma $(*)$ (ça ne veut pas dire qu'il n'y en a pas).

Plutôt que de passer par des fonctions en escalier, on peut définir les sommes de Darboux inférieures et supérieures et faire toute la théorie avec ça sans se soucier de fonctions en escalier.
Bien sûr, on obtient la même théorie de l'intégration, mais la présentation n'a pas la même "saveur". Le programme dit juste que le prof a le choix entre fonctions en escalier ou sommes de Darboux (il y a d'autres façon de faire, ne serait-ce que la façon dont a procédé Riemann, voir The Calculus Gallery de Dunham pour un résumé).

Et bien sûr, une présentation avec les sommes de Darboux reste dans le cadre de la MPSI, pas besoin d'en sortir.

supp

@Héhéhé: désolé je n'avais pas compris la question. Je trouve ces casse-têtes de prépa impossible: comment démontrer que (u_n) tend vers zéro sans connaître (cocher les cases)
1 la complétude de R
2 la propriété de Borel Lebesgue
3 La notion de sous-suite extraite
Comment expliquer la topologie sans avoir la définition d'une topologie, les formes bilinéaires sans avoir la notion de forme quadratique etc.B-)

M.

J’ai eu la théorie avec les sommes de Darboux en 1990-1991.

Aléa : mais, pour la gloire de l'esprit humain, évidemment ! ;-)

Il y avait une citation sur la page d'accueil du site à propos de ça et de Fourier je crois mais je ne l'ai pas retrouvée.

Corto : peut-être s'agissait-il du titre du livre de Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain — les mathématiques aujourd'hui, éd. Hachette, coll. Histoire et phil. des sc. (1987) ? (copié-collé depuis Wikipédia)

Bonsoir,

Héhéhé a écrit:

Le programme parle-t-il de ces variations ou bien y a-t-il des constructions vraiment différentes ? EDIT: je parle de constructions faisables en MPSI, donc à mon avis exit Lebesgue et compagnie...

Je suis d'accord que construire l'intégrale de Lebesgue est déraisonnable en MPSI. En revanche, construire l'intégrale de Kurzweil-Henstock (qui intègre strictement plus de fonctions que Riemann donc est effectivement différente) ne me semble pas forcément délirant, suivant le type de MPSI dans laquelle on enseigne (Demailly dit même "les premières étapes nous paraissent éventuellement utilisables au lycée", gloups).

Mauricio a écrit:

Dans la théorie de Lebesgue tu définis d'abord axiomatiquement la notion de mesure puis la mesure d'un ensemble. L'intégrale est alors un aire comme un autre. Tu as ensuite de gros problème pour montrer la linéarité.

Je trouve les explications du Rudin (analyse réelle et complexe) limpides à ce sujet. La difficulté, ce serait plutôt que non seulement il faudrait définir les tribus et faire une assez longue digression, mais qu'en plus il n'y a aucun moyen simple de définir la mesure de Lebesque sur $\R$ / $\R^n$. Si on passe par le théorème de Riesz, bah il faut d'abord définir ... l'intégrale des fonctions continues à support compact. Donc on en revient au problème du début.

Remarque :
Une somme de Riemann n’est pas nécessairement régulière il me semble dans la nomenclature.

La méthode indiquée par Calli (sans les subdivisions régulières) m’avait été présentée en DEUG1, en semestre 2 - début 1999 à Jussieu.
Je me rappelle n’avoir rien compris à la preuve.
J’avais compris l’idée générale « méthode des rectangles » (que je trouve très intuitive par rapport à Lebesgue) mais je ne savais pas faire ces preuves.
Je pense même que je ne voyais pas bien la finesse de l’indépendance de la subdivision choisie, à l’époque.

Je détaille un peu la construction que j'ai proposée.

On admet que l'on dispose de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions continues et dérivables par morceaux (ce que sont les $F_n^\pm$).

Si $A$ est une partie d'un ensemble réel $B$ alors $\sup A \leq \sup B$, ceci implique que $(F_{n+1}^+)'\leq (F_{n}^+)'$ là où c'est défini et donc $F_{n+1}^+ \leq F_n^+$ : la suite $(F_n^+)_n$ est décroissante. On montre de la même façon que $(F_n^-)_n$ est une suite croissante.

Montrons maintenant que ces deux suites sont adjacentes. Soit $x$ un point de $[0;1]$ et $\varepsilon>0$ un réel. La fonction $f$ est uniformément continue, par conséquent pour $n$ assez grand on sait que $|(F_n^+)'-(F_n^-)'|<\varepsilon $ partout où c'est défini. L'inégalité des accroissements finis nous donne alors $|F_n^+(x)-F_n^-(x)|<\varepsilon$ pour $n$ assez grand. Ceci montre que les deux suites convergent et qu'elles ont la même limite, notons $F$ cette limite.

Il ne nous reste plus qu'à montrer que $F$ est une primitive de $f$. Soit $x$ un point de $[0;1]$ on a
\[
\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{n\to \infty}\frac{ F_n^-(x+h)- F_n^-(x)}{h}
\]
Pour tout entier $n$ tel que $2^{-n}<|h|$, on a alors, par inégalité des accroissements finis
\[
\left|\frac{ F_n^-(x+h)- F_n^-(x)}{h} - f(x) \right| \leq \sup_{t\in [x-2h;x+2h]} |f(t)-f(x)|
\]
et ce supremum tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$. On en déduit que $F$ est dérivable et que $F'=f$.


Les avantages de cette construction :
-Rapide et économe, pas de suites de Cauchy.
-La relation de Chasles est triviale.
-Le théorème fondamental de l'analyse est trivial.

Les inconvénients :
-On n'intègre que les fonctions continues (éventuellement par morceaux).
-On ne comprend pas du tout le lien entre intégrale d'une fonction et aire sous la courbe...

Ce dernier inconvénient est de taille... ce qu'on gagne sur le théorème fondamental de l'analyse on le perd sur l'interprétation aire/intégrale. Par contre on n'est pas obligé de repasser pas les sommes de Riemann pour démontrer cette équivalence aire/intégrale. Au final je pense que c'est à peu près aussi rapide que la construction classique avec les sommes de Riemann si l'on prend tout ça en compte. Dernier "avantage" de cette construction, elle met en lumière le fait qu'il n'est a priori pas évident du tout qu'une fonction continue admette une primitive et que cette primitive n'est pas facile à construire en tout généralité. D'un autre côté on occulte un peu le fait que la notion d'aire sous une courbe n'est pas évidente à définir. Tout ceci n'a rien de très surprenant, comme je l'ai expliqué on ne fait que prendre le problème à l'envers.

Intéressant Corto (tu)

Je suis un peu surpris héhéhé, pourquoi penses-tu que la méthode que j'ai décrite (et qui est aussi dans le PDF de gegrane si je lis correctement) n'est pas réaliste ?

Merci Chaurien pour cette belle référence... qui permet de rendre à Jacobi ce qui est à Jacobi. Spéciale dédicace à Marlène Schiappa (lettre de Legendre à Jacobi non datée, cachet de la Poste du 30 juin 1832 ; cf. avant-dernière page du document indiqué par Chaurien). (:P)

Comme le temps passe...

En 1980, tardivement agrégé (agrégation 1977 tout court, l'interne n'existant pas encore), enseignant en Terminale C à Aubervilliers, je faisais aussi d'autres choses et en particulier un DEA sur l'histoire de la loi de réciprocité quadratique.
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/roger_cuculiere_loireciprocitequadratique.pdf

Au cours de cette étude je me suis pris de sympathie pour Legendre, mathématicien qui a eu une longue vie : 1752-1833, et a fait de nombreuses découvertes, en témoignent les divers objets mathématiques étiquetés « de Legendre », dans tous les domaines mathématiques ou peu s'en faut.

Par exemple, sa « Géométrie » a fait autorité durant une grande partie du XIXème siècle et on disait « la Géométrie de Legendre » comme on dit « Le Petit Larousse ». Une marque, en somme.

Sa popularité explique sans doute pourquoi il a la plus longue rue de mathématicien de Paris, alors que Henri Poincaré par exemple doit se contenter d'une ruelle de 200m dans le XXème arrondissement.

Malheureusement, Legendre a souffert de la contemporanéité avec des mathématiciens plus doués comme Gauss et en plusieurs circonstances il n'a pas été à même de parachever ses découvertes, je pense notamment à la théorie des nombres, aux fonctions elliptiques ou à la géométrie. Ses œuvres complètes n'ont jamais été éditées comme telles, contrairement à celles d'Euler, Lagrange, Cauchy, Gauss ou autres, ce que je trouve scandaleux. Nos historiens-des-mathématiques pourraient peut-être s'intéresser à ce grand mathématicien français, plutôt qu'aux mathématiques exotiques plus ou moins fantasmées.

J'avais formé un projet de thèse d'histoire des mathématiques sur la vie et l'œuvre de Legendre, mais le doyen Ramis m'a affecté en classe préparatoire, et il n'en était plus question. J'ai eu néanmoins l'occasion d'étudier beaucoup de ses écrits, surtout à la bibliothèque de troisième cycle de Jussieu, qui était alors dirigée par Mlle Larive, au sixième étage de la tour 56. Bibliothèque très riche en revues, qui étaient alors en accès libre ce qui permettait une remontée efficace des bibliographies.

C'est ainsi que j'ai pu lire la correspondance Legendre-Jacobi, qui est un document vraiment exceptionnel. J'ai remarqué cette phrase sur « l'honneur de l'esprit humain » avant que Dieudonné ne l'utilise pour le titre de son livre, et je suis bien d'accord avec Jacobi.

Présentement je l'ai retrouvée pour le forum sur Numdam, mais elle est en trois parties.
Dans mon précédent message, j'ai donné la troisième :
http://www.numdam.org/article/BSMA_1875__9__126_1.pdf
et voici la première :
http://www.numdam.org/article/BSMA_1875__8__287_1.pdf
qui donne d'intéressants commentaires sur cette correspondance.
Mais je n'ai pas trouvé la deuxième, et je suis certain que des forumeurs plus malins y arriveront.

Bonne journée.
Fr. Ch.

[small]Le temps s’en va, le temps s’en va, ma dame
Las ! le temps, non, mais nous nous en allons,
Et tôt serons étendus sous la lame ;

Et des amours desquelles nous parlons,
Quand serons morts, n’en sera plus nouvelle.
Pour c’aimez-moi cependant qu’êtes belle.[/small]

Cher Chaurien, je ne savais pas que tu avais étudié l'histoire de la loi de réciprocité quadratique. J'imagine que tu le connais déjà, mais je me dois de te signaler le sublime Reciprocity Laws de Franz Lemmermeyer, sorti en 2000. Il devait y avoir une partie 2, qui aurait traité des aspects théorie du corps de classes, mais qui n'est jamais sortie malheureusement.

Héhéhé : bah en fait comme je l'explique on obtient immédiatement le théorème fondamental de l'analyse donc on peut se permettre de passer un peu de temps sur l'interprétation aire/intégrale... ce qu'on doit déjà faire avec les sommes de Riemann de toute façon. De plus l'interprétation aire/intégrale est exactement la démonstration du théorème fondamental de l'analyse (TFA) dans le cas classique (c'est à dire avec construction de l'intégrale par les sommes de Riemann).

Je m'explique, ce que dit la démonstration usuelle du TFA est exactement la chose suivante.
Théorème $(*)$:
Soit $I$ une fonction qui prend en entrée deux réels $a\leq b$ ainsi qu'une fonction $f\in C^0([a;b])$ et qui recrache un réel. Si cette fonction vérifie les hypothèses suivantes :
1) Si $\alpha\leq f\leq \beta$ alors $\alpha(b-a)\leq I(a,b,f) \leq \beta(b-a)$.
2) $I$ vérifie la relation de Chasles : si $c \in [a;b]$ alors $I(a,c,f_{|[a;c]})+I(c,b,f_{|[c;b]})=I(a,b,f)$.
alors $x\mapsto I(a,x,f)$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
Il est à peu près évident qu'une bonne notion de l'aire sous la courbe d'une fonction doit satisfaire les hypothèses 1) et 2), ce théorème montre donc que si une bonne notion d'aire existe alors c'est forcément la même chose que de prendre une primitive. Ceci justifie alors parfaitement de prendre pour définition "l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ est égale à $F(b)-F(a)$".

On pourrait chipoter et demander "mais si je pense qu'une bonne notion d'aire ne peut exister" ? Mais le problème se pose également avec la construction de l'intégrale des sommes de Riemann. Pourquoi cette limite de rectangle donnerait une bonne notion de l'aire après tout ? En un sens le TFA ne dit pas seulement comment primitives et intégrales sont reliées, il dit aussi aussi que la définition de l'aire par cette limite de rectangles est la meilleure et la seule que l'on puisse espérer. Ensuite pour les plus sceptiques on peut faire calculer
\[
\int_0^1 1 dt ,\quad \int_0^1 t dt, \quad \int_0^1 \sqrt{1-t^2} dt\ldots
\]
ce qui devrait les rassurer sur le fait que cette notion d'aire étend bien celle des figures géométriques usuelles.


Pour des raisons de pédagogie on peut vouloir commencer par présenter le théorème $(*)$, dire qu'une notion d'aire est forcément donnée par une primitive puis ensuite montrer qu'une primitive existe toujours.