Constructions alternatives : intégrale (MPSI)
Bonjour tout le monde,
la méthode "classique" pour construire l'intégrale d'une fonction continue $f$ sur un segment $[a,b]$ en MPSI est de montrer que le supremum de l'ensemble des intégrales des fonctions en escalier sur $[a,b]$ inférieures ou égales à $f$ est égal à l'infinimum de l'ensemble des des intégrales des fonctions continues en escalier sur $[a,b]$ supérieures ou égales à $f$ et d'appeler cette valeur commune intégrale de $f$ sur $[a,b]$ (en utilisant le théorème de Heine).
Cependant, le programme officiel de MPSI dit la chose suivante:
Le programme parle-t-il de ces variations ou bien y a-t-il des constructions vraiment différentes ? EDIT: je parle de constructions faisables en MPSI, donc à mon avis exit Lebesgue et compagnie...
Quelqu'un aurait-il des pistes ?
Merci !
la méthode "classique" pour construire l'intégrale d'une fonction continue $f$ sur un segment $[a,b]$ en MPSI est de montrer que le supremum de l'ensemble des intégrales des fonctions en escalier sur $[a,b]$ inférieures ou égales à $f$ est égal à l'infinimum de l'ensemble des des intégrales des fonctions continues en escalier sur $[a,b]$ supérieures ou égales à $f$ et d'appeler cette valeur commune intégrale de $f$ sur $[a,b]$ (en utilisant le théorème de Heine).
Cependant, le programme officiel de MPSI dit la chose suivante:
Cela semble sous-entendre qu'il y aurait d'autres façons de le faire, mais je ne trouve aucun cours en ligne qui le fasse (ce sont toutes des variantes quasi identiques de la construction que j'ai rappelée plus haut, par exemple en montrant que $f$ est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier).Programme officiel de MPSI (p. 30) a écrit:Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment [...] Le programme n’impose pas de construction particulière.
Le programme parle-t-il de ces variations ou bien y a-t-il des constructions vraiment différentes ? EDIT: je parle de constructions faisables en MPSI, donc à mon avis exit Lebesgue et compagnie...
Quelqu'un aurait-il des pistes ?
Merci !
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Réponses
M.
L'intégrale comme limite de sommes de Riemann ?
Cordialement.
Le problème avec ça Gérard, c'est que démontrer la relation de Chasles devient un enfer si on ne s'autorise que les subdivisions régulières. Et sinon, il faut montrer que la limite est indépendante de la subdivision, ce qui est tout autant infernal si on ne passe pas par les intégrales des fonctions en escalier. Un étudiant avait voulu faire ça il y a plusieurs moi et c'était trèèès compliqué.
Il y a plusieurs variantes de la démarche [intégrales des fonctions en escaliers puis intégrales des fonctions continues par morceaux] $(*)$. Avec le sup et l'inf des intégrales des fonctions en escalier supérieures et inférieures à la fonction comme l'a dit Héhéhé. Ou par exemple en montrant que si $(f_n)$ est une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément vers $f$, alors $(\int f_n)_n$ est de Cauchy (mais on déborde déjà du programme car il ne comporte pas les suites de Cauchy). Je ne connais pas de construction raisonnablement abordable en MPSI qui n'applique pas le schéma $(*)$ (ça ne veut pas dire qu'il n'y en a pas).
Il manque des mots dans ta définition pour qu'elle ait un sens (même si la plupart des lecteurs auront compris à quoi tu fais référence).
Deux pistes (je ne dis pas qu'elles sont bonnes ou mauvaises, je n'ai d'ailleurs jamais enseigné en MPSI) :
- Est-il nécessaire de parler des fonctions en escaliers qui majorent $f$ dans la définition ? De toute façon, la valeur de l'intégrale est la valeur commune de cet infimum et de ce supremum qui existent toujours avec les conditions imposées à $f$.
- Pourrait-on se contenter de dire que la suite $\displaystyle\left(\dfrac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\dfrac{b-a}n\right)\right)_{n\geqslant 1}$ est convergente et d'appeler intégrale de $f$ sur $[a;b]$ sa limite pour démontrer tous les autres résultats ?
Bien sûr, on obtient la même théorie de l'intégration, mais la présentation n'a pas la même "saveur". Le programme dit juste que le prof a le choix entre fonctions en escalier ou sommes de Darboux (il y a d'autres façon de faire, ne serait-ce que la façon dont a procédé Riemann, voir The Calculus Gallery de Dunham pour un résumé).
Et bien sûr, une présentation avec les sommes de Darboux reste dans le cadre de la MPSI, pas besoin d'en sortir.
c'est long et même plus technique que les fonctions en escalier. Mais comme la question initiale ne parlait pas de facilité à enseigner, seulement d'existence de méthode ...
Cordialement.
1 la complétude de R
2 la propriété de Borel Lebesgue
3 La notion de sous-suite extraite
Comment expliquer la topologie sans avoir la définition d'une topologie, les formes bilinéaires sans avoir la notion de forme quadratique etc.B-)
M.
Mauricio, c'est vrai qu'en prépa on doit toujours jongler avec ce que le programme autorise ou non. Et c'est toujours un peu compliqué. Mon prof de sup avait ignoré cette difficulté en ajoutant dans son cours les notions qui sont au voisinage du programme, telles les suites de Cauchy. Ça donnait un cours complet, mais peu compact. ;-)
-- Schnoebelen, Philippe
Il y avait une citation sur la page d'accueil du site à propos de ça et de Fourier je crois mais je ne l'ai pas retrouvée.
-Les fonctions $F_n^\pm$ sont continues.
-$F_n^\pm (0)=0$
-pour tout $x\in [k/2^n; (k+1)/2^n]$ on a :
\[F_n^-(x)-F_n^-(k/2^n) = (x-k/2^n)\inf_{t\in [k/2^n; (k+1)/2^n] }f(t) \quad \text{et}\quad F_n^+(x)-F_n^+(k/2^n) = (x-k/2^n)\sup_{t\in [k/2^n; (k+1)/2^n] }f(t)
\]
On montre alors que $(F_n^+)_n$ et $(F_n^-)_n$ sont adjacentes et que la fonction limite $F$ vérifie $F'=f$. On pose alors simplement $\int_0^1 f(t) \mathrm dt = F(1)$.
Je suis d'accord que construire l'intégrale de Lebesgue est déraisonnable en MPSI. En revanche, construire l'intégrale de Kurzweil-Henstock (qui intègre strictement plus de fonctions que Riemann donc est effectivement différente) ne me semble pas forcément délirant, suivant le type de MPSI dans laquelle on enseigne (Demailly dit même "les premières étapes nous paraissent éventuellement utilisables au lycée", gloups).
-1° La construction de l'intégrale comme forme linéaire continue sur un sous-espace vectoriel $F$ des fonctions bornées dont l'adhérence contient $C^0([a,b],\R)$ puis son prolongement par continuité à tout $\overline F$ (rappel: positive entraîne continue lorsque la fonction constante égale à $1$ est dans $F$).
On peut envisager $F:=$ fonctions étagées (intégrale des fonctions réglées), polynômes (j'ai déjà vu faire ça mais il faut être en possession du théorème de Stone-Weierstrass), fonctions qui sont les dérivées de fonctions continues en dehors d'un ensemble au plus dénombrable de points (c'est l'idée de Bourbaki- noter que cela entraîne le théorème dit "fondamental de l'analyse": toute dérivée admet une primitive qui est la fonction elle-même éventuellemtn translatée par une constante alors que c'est faux pour l'intégrale de Lebesgue). Si la mention de notions topologiques pose problème on travaille avec des suites de fonctions et leurs limites.
-2° L'intégrale de Henstock-Kurzweil. Bon c'est plus délicat mais le début du poly de Demailly est faisable je dirais.
J'avais lu un texte de profs d'une fac où l'intégrale KH avait été enseignée et ils disaient que c'était un des problèmes principaux de cette théorie : elle n'est enseignée nulle part.
Dans une optique prépa/concours ça ne me semble donc pas raisonnable d'enseigner l'intégrale KH, même si la théorie est intéressante et pas énormément plus compliquée que celle de Riemann.
Brian : je ne sais pas... dans mes vagues souvenirs je crois qu'il s'agit de quelqu'un parlant de Fourier qui essaye de justifier l'utilité de ses mathématiques et ce quelqu'un dit qu'un philosophe tel que Fourier aurait dû savoir que le but ultime de la science est la gloire de l'esprit humain et rien d'autre... Ou un truc dans ce goût là.
Dans le même genre il y a une citation attribuée à Pythagore qui dit "le possible n'est pas loin du nécessaire", enfin, je ne sais pas si je l'interprète correctement ceci dit.
Une somme de Riemann n’est pas nécessairement régulière il me semble dans la nomenclature.
La méthode indiquée par Calli (sans les subdivisions régulières) m’avait été présentée en DEUG1, en semestre 2 - début 1999 à Jussieu.
Je me rappelle n’avoir rien compris à la preuve.
J’avais compris l’idée générale « méthode des rectangles » (que je trouve très intuitive par rapport à Lebesgue) mais je ne savais pas faire ces preuves.
Je pense même que je ne voyais pas bien la finesse de l’indépendance de la subdivision choisie, à l’époque.
C'est ce qui a ma préférence, on peut prendre pour $F$ l'ensemble des fonctions continues affines par morceaux si on ne veut pas sortir des fonctions continues.
Mais pour prolonger la forme, il faut avoir les suites de Cauchy...
Sérieusement, proposer une construction de l'intégrale dans ces conditions, ce n'est pas du cours, c'est du spectacle.
Si on veut vraiment présenter une preuve (nécessairement acrobatique) parce que c'est au programme, autant le faire dans un DM.
On admet que l'on dispose de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions continues et dérivables par morceaux (ce que sont les $F_n^\pm$).
Si $A$ est une partie d'un ensemble réel $B$ alors $\sup A \leq \sup B$, ceci implique que $(F_{n+1}^+)'\leq (F_{n}^+)'$ là où c'est défini et donc $F_{n+1}^+ \leq F_n^+$ : la suite $(F_n^+)_n$ est décroissante. On montre de la même façon que $(F_n^-)_n$ est une suite croissante.
Montrons maintenant que ces deux suites sont adjacentes. Soit $x$ un point de $[0;1]$ et $\varepsilon>0$ un réel. La fonction $f$ est uniformément continue, par conséquent pour $n$ assez grand on sait que $|(F_n^+)'-(F_n^-)'|<\varepsilon $ partout où c'est défini. L'inégalité des accroissements finis nous donne alors $|F_n^+(x)-F_n^-(x)|<\varepsilon$ pour $n$ assez grand. Ceci montre que les deux suites convergent et qu'elles ont la même limite, notons $F$ cette limite.
Il ne nous reste plus qu'à montrer que $F$ est une primitive de $f$. Soit $x$ un point de $[0;1]$ on a
\[
\frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \lim_{n\to \infty}\frac{ F_n^-(x+h)- F_n^-(x)}{h}
\]
Pour tout entier $n$ tel que $2^{-n}<|h|$, on a alors, par inégalité des accroissements finis
\[
\left|\frac{ F_n^-(x+h)- F_n^-(x)}{h} - f(x) \right| \leq \sup_{t\in [x-2h;x+2h]} |f(t)-f(x)|
\]
et ce supremum tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$. On en déduit que $F$ est dérivable et que $F'=f$.
Les avantages de cette construction :
-Rapide et économe, pas de suites de Cauchy.
-La relation de Chasles est triviale.
-Le théorème fondamental de l'analyse est trivial.
Les inconvénients :
-On n'intègre que les fonctions continues (éventuellement par morceaux).
-On ne comprend pas du tout le lien entre intégrale d'une fonction et aire sous la courbe...
Ce dernier inconvénient est de taille... ce qu'on gagne sur le théorème fondamental de l'analyse on le perd sur l'interprétation aire/intégrale. Par contre on n'est pas obligé de repasser pas les sommes de Riemann pour démontrer cette équivalence aire/intégrale. Au final je pense que c'est à peu près aussi rapide que la construction classique avec les sommes de Riemann si l'on prend tout ça en compte. Dernier "avantage" de cette construction, elle met en lumière le fait qu'il n'est a priori pas évident du tout qu'une fonction continue admette une primitive et que cette primitive n'est pas facile à construire en tout généralité. D'un autre côté on occulte un peu le fait que la notion d'aire sous une courbe n'est pas évidente à définir. Tout ceci n'a rien de très surprenant, comme je l'ai expliqué on ne fait que prendre le problème à l'envers.
« Il est vrai que M. Fourier avait l'opinion que le but
principal des Mathématiques était l'utilité publique et l'explication
des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû
savoir que le but unique de la Science, c'est l'honneur de l'esprit
humain, et que sous ce titre une question de nombres vaut autant
qu'une question du système du monde.»
http://www.numdam.org/article/BSMA_1875__9__126_1.pdf
Cette correspondance entre un vieux mathématicien universellement honoré et un jeune génie qu'il encourage est un document émouvant, et nous devons nous réjouir de pouvoir la lire en un clic.
Quand j'en ai pris connaissance il y a plus de trente ans, elle était bien moins facile d'accès.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Merci beaucoup Chaurien pour ce document, j'ai lu quelques lettres, c'est très intéressant. Comment l'as-tu trouvé, tu connaissais déjà cette citation ?
Je ne peux m'empêcher de me demander ce que ces illustres géomètres penseraient s'ils savaient que deux siècles plus tard tout le monde pourrait lire leur correspondance privée. Mais je suppose qu'ils étaient au courant de cette possibilité, je crois que les recueils de correspondances entres personnes célèbres existaient déjà à cette époque.
En 1980, tardivement agrégé (agrégation 1977 tout court, l'interne n'existant pas encore), enseignant en Terminale C à Aubervilliers, je faisais aussi d'autres choses et en particulier un DEA sur l'histoire de la loi de réciprocité quadratique.
http://www-irem.univ-paris13.fr/site_spip/IMG/pdf/roger_cuculiere_loireciprocitequadratique.pdf
Au cours de cette étude je me suis pris de sympathie pour Legendre, mathématicien qui a eu une longue vie : 1752-1833, et a fait de nombreuses découvertes, en témoignent les divers objets mathématiques étiquetés « de Legendre », dans tous les domaines mathématiques ou peu s'en faut.
Par exemple, sa « Géométrie » a fait autorité durant une grande partie du XIXème siècle et on disait « la Géométrie de Legendre » comme on dit « Le Petit Larousse ». Une marque, en somme.
Sa popularité explique sans doute pourquoi il a la plus longue rue de mathématicien de Paris, alors que Henri Poincaré par exemple doit se contenter d'une ruelle de 200m dans le XXème arrondissement.
Malheureusement, Legendre a souffert de la contemporanéité avec des mathématiciens plus doués comme Gauss et en plusieurs circonstances il n'a pas été à même de parachever ses découvertes, je pense notamment à la théorie des nombres, aux fonctions elliptiques ou à la géométrie. Ses œuvres complètes n'ont jamais été éditées comme telles, contrairement à celles d'Euler, Lagrange, Cauchy, Gauss ou autres, ce que je trouve scandaleux. Nos historiens-des-mathématiques pourraient peut-être s'intéresser à ce grand mathématicien français, plutôt qu'aux mathématiques exotiques plus ou moins fantasmées.
J'avais formé un projet de thèse d'histoire des mathématiques sur la vie et l'œuvre de Legendre, mais le doyen Ramis m'a affecté en classe préparatoire, et il n'en était plus question. J'ai eu néanmoins l'occasion d'étudier beaucoup de ses écrits, surtout à la bibliothèque de troisième cycle de Jussieu, qui était alors dirigée par Mlle Larive, au sixième étage de la tour 56. Bibliothèque très riche en revues, qui étaient alors en accès libre ce qui permettait une remontée efficace des bibliographies.
C'est ainsi que j'ai pu lire la correspondance Legendre-Jacobi, qui est un document vraiment exceptionnel. J'ai remarqué cette phrase sur « l'honneur de l'esprit humain » avant que Dieudonné ne l'utilise pour le titre de son livre, et je suis bien d'accord avec Jacobi.
Présentement je l'ai retrouvée pour le forum sur Numdam, mais elle est en trois parties.
Dans mon précédent message, j'ai donné la troisième :
http://www.numdam.org/article/BSMA_1875__9__126_1.pdf
et voici la première :
http://www.numdam.org/article/BSMA_1875__8__287_1.pdf
qui donne d'intéressants commentaires sur cette correspondance.
Mais je n'ai pas trouvé la deuxième, et je suis certain que des forumeurs plus malins y arriveront.
Bonne journée.
Fr. Ch.
[small]Le temps s’en va, le temps s’en va, ma dame
Las ! le temps, non, mais nous nous en allons,
Et tôt serons étendus sous la lame ;
Et des amours desquelles nous parlons,
Quand serons morts, n’en sera plus nouvelle.
Pour c’aimez-moi cependant qu’êtes belle.[/small]
Je m'explique, ce que dit la démonstration usuelle du TFA est exactement la chose suivante.
Théorème $(*)$:
Soit $I$ une fonction qui prend en entrée deux réels $a\leq b$ ainsi qu'une fonction $f\in C^0([a;b])$ et qui recrache un réel. Si cette fonction vérifie les hypothèses suivantes :
1) Si $\alpha\leq f\leq \beta$ alors $\alpha(b-a)\leq I(a,b,f) \leq \beta(b-a)$.
2) $I$ vérifie la relation de Chasles : si $c \in [a;b]$ alors $I(a,c,f_{|[a;c]})+I(c,b,f_{|[c;b]})=I(a,b,f)$.
alors $x\mapsto I(a,x,f)$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
Il est à peu près évident qu'une bonne notion de l'aire sous la courbe d'une fonction doit satisfaire les hypothèses 1) et 2), ce théorème montre donc que si une bonne notion d'aire existe alors c'est forcément la même chose que de prendre une primitive. Ceci justifie alors parfaitement de prendre pour définition "l'aire sous la courbe de $f$ entre $a$ et $b$ est égale à $F(b)-F(a)$".
On pourrait chipoter et demander "mais si je pense qu'une bonne notion d'aire ne peut exister" ? Mais le problème se pose également avec la construction de l'intégrale des sommes de Riemann. Pourquoi cette limite de rectangle donnerait une bonne notion de l'aire après tout ? En un sens le TFA ne dit pas seulement comment primitives et intégrales sont reliées, il dit aussi aussi que la définition de l'aire par cette limite de rectangles est la meilleure et la seule que l'on puisse espérer. Ensuite pour les plus sceptiques on peut faire calculer
\[
\int_0^1 1 dt ,\quad \int_0^1 t dt, \quad \int_0^1 \sqrt{1-t^2} dt\ldots
\]
ce qui devrait les rassurer sur le fait que cette notion d'aire étend bien celle des figures géométriques usuelles.
Pour des raisons de pédagogie on peut vouloir commencer par présenter le théorème $(*)$, dire qu'une notion d'aire est forcément donnée par une primitive puis ensuite montrer qu'une primitive existe toujours.
Bien sûr j'ai ce livre de Franz Lemmermeyer, j'ai correspondu avec lui quand il l'écrivait, il m'a demandé de lui envoyer mon petit travail ainsi qu'un autre : http://www.numdam.org/article/GAU_1979-1981__7-8__A16_0.pdf , ce que j'ai fait, et il me cite dans l'ouvrage dont tu parles.
Plus récemment il a traduit et édité un livre de 1885 : Oswald Baumgart The Quadratic Reciprocity Law - A Collection of Classical Proofs, Birkhäuser, 2015. Dans ce livre, il recense 314 preuves de la loi de réciprocité quadratique, et parmi elles, il m'attribue la 242ème.
Bonne journée.
Fr. Ch.