Phénomène de Pinsky (intégrales ?)
dans Analyse
Bonjour,
je viens d'apprendre, sur Wikipédia, l'existence du phénomène de Pinsky. Malheureusement, il n'y a pas d'image...
Apparemment, en deux dimensions, la suite des sommes partielles sphériques de l'intégrale de Fourier (je traduis mot à mot de l'anglais car je ne connais pas les termes) de l'indicatrice d'un disque diverge au centre de ce disque, mais converge bien partout ailleurs (dans l'intérieur du disque).
Est-ce que vous avez des images qui témoignent de ce fait ? Et des détails mathématiques ?
je viens d'apprendre, sur Wikipédia, l'existence du phénomène de Pinsky. Malheureusement, il n'y a pas d'image...
Apparemment, en deux dimensions, la suite des sommes partielles sphériques de l'intégrale de Fourier (je traduis mot à mot de l'anglais car je ne connais pas les termes) de l'indicatrice d'un disque diverge au centre de ce disque, mais converge bien partout ailleurs (dans l'intérieur du disque).
Est-ce que vous avez des images qui témoignent de ce fait ? Et des détails mathématiques ?
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Réponses
Je crois qu'il faut faire la chose suivante : on considère $f$, la fonction indicatrice du disque de centre $0$ et de rayon $1$ sur le carré $[-\pi,\pi]^2$.
On pose, pour tout $a,b \in \mathbb{Z}$, $c_{a,b}(f) := \frac{1}{(2\pi)^2} \int^\pi_{-\pi}\int^\pi_{-\pi} 1_{D(0,1)}(x,y) e^{-iax}e^{-iby}dxdy$.
Je galère déjà à trouver ces nombres...
De plus, je crois que le phénomène de Pinsky est que si on pose, pour tout $N \in \mathbb{N}$, et pour tout $x,y$, $S_N(f)(x,y) := \sum_{\substack{a,b \in \mathbb{Z}\\ a^2 + b^2 \leq N}} c_{a,b}(f)e^{i(ax+by)}$, alors la suite $(S_N(f)(0,0))_{N \in \mathbb{N}}$ ne converge pas vers $1$.
Est-ce que vous pouvez m'aider à calculer les $c_{a,b}(f)$ ? J'ai essayé en coordonnées polaires, et j'arrive à $(2\pi^2) c_{a,b}(f)= \int^1_0 r \int^{2\pi}_0 e^{-ir(a\cos \theta + b\sin \theta)} d\theta dr$ mais l'intégrale qui est à l'intérieur ne m'enchante pas. Sinon, j'ai essayé en Fubinisant direct et je suis tombé sur une horrible intégrale avec (entre autres) un $\sin(b\sqrt{1-y^2})$ et je ne sais pas me débrouiller avec ça.
EDIT : J'ai rajouté $c_{a,b}(f)$ à un endroit où je voulais le mettre mais l'ai oublié.
Sans en être sûr : si wolfram le fait, regarde plutôt sa version ;-)
$\displaystyle \int_{0}^{2 \pi } \exp(- i r (a \cos \theta + b \sin \theta)) d\theta = 2 \pi J_0 (\sqrt{a^2+b^2} r)$,
puis $\displaystyle \int_0^1 2 \pi\, r J_0 (\sqrt{a^2+b^2} r)dr = 2 \pi {1 \over \sqrt{a^2+b^2}} J_1(\sqrt{a^2+b^2}).$
Je n'y connais rien, moi, aux fonctions de Bessel. Est-ce que tu peux m'expliquer ta première égalité ?
Ce qui m'ennuie, c'est que GeoGebra n'a pas l'air de connaître les fonctions de Bessel...
Est-ce que quelqu'un a de quoi tracer le graphe de la fonction $(x,y) \mapsto \frac{1}{2\pi}\sum_{\substack{a \geq 0, b \geq 0\\a^2+b^2 \leq N}} c_{a,b} \cos(ax)\cos(by)$ avec les $c_{a,b}$ calculés par Yves ? Ou me suggérer un programme qui pourrait le faire ?
D’abord on montre que l’intégrale existe. Puis qu’elle est réelle. La partie imaginaire est $\int_0^{2\pi} \sin(r (a \cos x+b\sin x)) dx$. Comme l’intégrande est $2\pi$-périodique, on change les bornes en $-\pi$ et $\pi.$ Puis on change les variables $x\leadsto y$ avec $y=-x$ : et voilà : c’est une intégrale nulle.
Pour la partie réelle on écrit $a \cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2} \cos(x+u)$ avec $\cos u={a\over \sqrt{a^2+b^2}}.$
Comme la fonction cosinus est $2\pi$-périodique et qu’on intègre sur une période, un changement de variable élimine le $u$.
On a donc $\int_0^{2\pi} cos(r\sqrt{a^2+b^2} x)dx=2\pi J_0(r\sqrt{a^2+b^2})$ avec $J_0$ fonction de Bessel de première espèce d’ordre $0.$
Il faut étudier cette fonction pour démontrer la relation. C’est trop long à écrire ici.
Les propriétés des fonctions de Bessel donnent directement la seconde intégration.
Je n’ai pas pu vérifier sur wolfram en ligne : ça m’étonne mais bon, mon résultat est correct.
$x$ est compris entre $-5$ et $5$, et $y$ aussi. J'ai oublié de diviser par $2 \pi$, et pris comme définition de $c_{a,b}(f) := \frac{1}{\pi^2} \int^\pi_{-\pi}\int^\pi_{-\pi} 1_{D(0,1)}(x,y) e^{-iax}e^{-iby}dxdy$, avec $\pi^2$ au dénominateur au lieu de $(2\pi)^2$.
C'est donc la surface $$(x,y) \mapsto \sum_{a,b \geq 0, a^2+b^2\leq N} c_{a,b} \cos(ax)\cos(by)$$.
@YvesM : Je regarderai tes calculs demain, merci !
Si on applique la transformation de Fourier à $1_{D(0,1)}$, puis la transformation inverse, on doit retomber sur $1_{D(0,1)}$ presque partout, donc peut-être ça ne doit pas se voir sur l'image, si ça ne converge pas en $(0,0)$ ?
fonction de Bessel (dans mes souvenirs c'était la partie radiale la transformée de Fourier d'un disque, et on a son image par diffraction, c'est tout, peut-être ce qui explique l'effet de lentille)
Pour le $\cos(ax)\cos(by)$, c'est juste que $e^{i(ax+by)} + e^{i(ax-by)} + e^{i(-ax+by)} + e^{-i(ax+by)} = (e^{iax}+e^{-iax})(e^{iby}+e^{-iby}) = 4\cos(ax)\cos(by)$ (j'avais quand même oublié un $4$ quelque part).
@Callipiger: merci, oui, on peut aussi utiliser la série d'après la page Wikipédia.