f holomorphe, f(0), formule de la moyenne ?
Bonjour à tous,
Dans le cadre d'un exercice, on a $f$ holomorphe au voisinage de $D(0,1)$, telle que pour tout $z$ de module $1$, on a $|1-f(z)| \leq |exp(z-1)|$. On me demande de démontrer que $f(0)$ est compris entre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
J'avais en tête d'utiliser la "formule de la moyenne" ($f(a)=\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(a+re^{it} )\mathbb{d}t$ ), à la fonction $g$ définie comme : $g(z)=|1-f(z)|$, mais d'une part, est-ce que $g$ est bien holomorphe dans ce cas ? et surtout je n'arrive pas au bon résultat.
Avez-vous des pistes ?
Dans le cadre d'un exercice, on a $f$ holomorphe au voisinage de $D(0,1)$, telle que pour tout $z$ de module $1$, on a $|1-f(z)| \leq |exp(z-1)|$. On me demande de démontrer que $f(0)$ est compris entre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
J'avais en tête d'utiliser la "formule de la moyenne" ($f(a)=\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(a+re^{it} )\mathbb{d}t$ ), à la fonction $g$ définie comme : $g(z)=|1-f(z)|$, mais d'une part, est-ce que $g$ est bien holomorphe dans ce cas ? et surtout je n'arrive pas au bon résultat.
Avez-vous des pistes ?
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Réponses
On a $g(0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} 1-f(e^{it})dt$
$\Rightarrow |g(0)| \leq \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |e^{e^{it}-1}|dt$
$\Rightarrow |g(0)| \leq \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\exp{(\cos(t)-1)}| dt$
$\Rightarrow |g(0)| \leq \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} 1 dt$
ie $|g(0)| \leq 1$ et donc $0 \leq f(0) \leq 2$... Ce qui n'est pas ce que je cherchais !
Quelqu'un voit l'erreur dans ce que j'ai fait ?
J'imagine que c'est à la première ligne et que l'inégalité triangulaire ne fonctionne pas pour les intégrales complexes ?
Édit : Oups, j’avais fais comme Siméon ci-dessous (approcher l'intégrale), mais j’avais oublié de diviser par $2\pi$. (:P)
@side C'est une erreur de ma part, il faut montrer que $|f(0|$ est compris entre les deux valeurs indiquées. Je corrige l'énoncé ! (si je vous donne un mauvais énoncé c'est effectivement plus difficile).
@siméon J'ai essayé de majorer $\exp$ par $\dfrac{1}{2}x+1$ (ce qui donnerait le bon résultat), mais c'est faux près de $-2$ ... et avec une majoration par $\dfrac{1}{3}x+1$ par exemple, c'est trop court.
@bisam, merci pour ton message. comment faire pour obtenir un tel résultat ?
En fait l'intégrale $\int_0^{2\pi} \exp(\cos(t)-1)\,dt$ s'exprime directement avec une fonction de Bessel, mais bon...
La preuve de @marco me plaît bien, et je pense que ce qui était "attendu" par notre prof !
Edit: est-ce que cette preuve fonctionne toujours si on a comme hypothèse $f$ holomorphe au voisinage du disque uniquement (comme c'est le cas dans mon exercice ?)
Merci à tous pour vos réponses.
En majorant $x\mapsto e^x$ par les deux meilleures fonctions affines sur $\left[-2;-1\right]$ et $\left[-1;0\right]$, on peut arriver à majorer $\displaystyle\dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\cos(t)-1}dt$ par $\dfrac 12$ sans calculatrice.