f holomorphe, f(0), formule de la moyenne ?
Bonjour à tous,
Dans le cadre d'un exercice, on a $f$ holomorphe au voisinage de $D(0,1)$, telle que pour tout $z$ de module $1$, on a $|1-f(z)| \leq |exp(z-1)|$. On me demande de démontrer que $f(0)$ est compris entre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
J'avais en tête d'utiliser la "formule de la moyenne" ($f(a)=\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(a+re^{it} )\mathbb{d}t$ ), à la fonction $g$ définie comme : $g(z)=|1-f(z)|$, mais d'une part, est-ce que $g$ est bien holomorphe dans ce cas ? et surtout je n'arrive pas au bon résultat.
Avez-vous des pistes ?
Dans le cadre d'un exercice, on a $f$ holomorphe au voisinage de $D(0,1)$, telle que pour tout $z$ de module $1$, on a $|1-f(z)| \leq |exp(z-1)|$. On me demande de démontrer que $f(0)$ est compris entre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{2}$.
J'avais en tête d'utiliser la "formule de la moyenne" ($f(a)=\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(a+re^{it} )\mathbb{d}t$ ), à la fonction $g$ définie comme : $g(z)=|1-f(z)|$, mais d'une part, est-ce que $g$ est bien holomorphe dans ce cas ? et surtout je n'arrive pas au bon résultat.
Avez-vous des pistes ?
Réponses
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Et si tu l'appliquais simplement à la fonction $f$ (ou à $1-f$, à la rigueur) ?
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Ta fonction $g$ n'est pas holomorphe puisqu'elle ne prend que des valeurs réelles et n'est pas constante. Par contre elle est harmonique, donc elle vérifie bien la formule de la moyenne, mais ce n'est pas très judicieux ici.
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Merci pour vos réponses. Je vais essayer de faire ce que vous proposez !
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J'ai tenté de refaire le calcul en posant $g = 1-f$.
On a $g(0) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} 1-f(e^{it})dt$
$\Rightarrow |g(0)| \leq \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |e^{e^{it}-1}|dt$
$\Rightarrow |g(0)| \leq \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |\exp{(\cos(t)-1)}| dt$
$\Rightarrow |g(0)| \leq \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} 1 dt$
ie $|g(0)| \leq 1$ et donc $0 \leq f(0) \leq 2$... Ce qui n'est pas ce que je cherchais !
Quelqu'un voit l'erreur dans ce que j'ai fait ?
J'imagine que c'est à la première ligne et que l'inégalité triangulaire ne fonctionne pas pour les intégrales complexes ? -
Ta dernière majoration me semble douteuse, mais même en la corrigeant, je ne crois pas que ça marchera comme ça.
Édit : Oups, j’avais fais comme Siméon ci-dessous (approcher l'intégrale), mais j’avais oublié de diviser par $2\pi$. (:P) -
Ta majoration $\exp(\cos(t)-1) \leqslant 1$ est trop brutale. On peut faire mieux en majorant $\exp$ par un fonction affine sur $[-2;0]$, et je crois que ça suffit pour ce problème.
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Il sera difficile d'obtenir une majoration suffisamment subtile plutôt que d'utiliser une valeur approchée de la valeur moyenne de $t\mapsto \exp(\cos(t)-1)$ puisque celle-ci vaut environ $0,4657596\dots$.
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supp
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Merci pour vos réponses.
@side C'est une erreur de ma part, il faut montrer que $|f(0|$ est compris entre les deux valeurs indiquées. Je corrige l'énoncé ! (si je vous donne un mauvais énoncé c'est effectivement plus difficile).
@siméon J'ai essayé de majorer $\exp$ par $\dfrac{1}{2}x+1$ (ce qui donnerait le bon résultat), mais c'est faux près de $-2$ ... et avec une majoration par $\dfrac{1}{3}x+1$ par exemple, c'est trop court.
@bisam, merci pour ton message. comment faire pour obtenir un tel résultat ? -
Ah zut, je n'avais pas fait le calcul ! La meilleure majorante affine est $x \mapsto 1 + \frac x2 - \frac x2 e^{-2}$ par convexité, mais effectivement ce n'est pas assez précis. As-tu essayé de majorer séparément sur $[-2,-1]$ et $[-1,0]$, ou un autre découpage ? Tu peux aussi utiliser des polynômes de degré $2$ ou plus élevé si nécessaire.
En fait l'intégrale $\int_0^{2\pi} \exp(\cos(t)-1)\,dt$ s'exprime directement avec une fonction de Bessel, mais bon... -
J'ai demandé à ma calculette...comment faire pour obtenir un tel résultat ? -
On peut poser $h(z)=\frac{1-f(z)}{e^{z-1}}$, alors le maximum de $|h(z)|$ sur le disque unité est atteint sur sa frontière, le cercle unité. Or $|h(z)|\leq 1$ sur le cercle unité. Donc $|h(0)|\leq 1$, donc $|1-f(0)|\leq e^{-1}$.
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supp
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@Siméon, on peut utiliser la périodicité et parité de $x \rightarrow \exp(\cos(x-1))$ pour réduire la question à : montrer que $\int_{0}^{\pi} \exp(\cos(x-1)) dx$ est majorée par $\pi$ mais le problème reste compliqué vu que la valeur de l'intégrale (calculée sur Geogebra) est effectivement très proche de $\pi$ donc faut une très bonne approximation.
La preuve de @marco me plaît bien, et je pense que ce qui était "attendu" par notre prof !
Edit: est-ce que cette preuve fonctionne toujours si on a comme hypothèse $f$ holomorphe au voisinage du disque uniquement (comme c'est le cas dans mon exercice ?)
Merci à tous pour vos réponses. -
Bonjour,
En majorant $x\mapsto e^x$ par les deux meilleures fonctions affines sur $\left[-2;-1\right]$ et $\left[-1;0\right]$, on peut arriver à majorer $\displaystyle\dfrac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\cos(t)-1}dt$ par $\dfrac 12$ sans calculatrice. -
Merci à tous, tout est maintenant plus clair
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