Un groupe de Lie complexe compact est abélien
dans Analyse
Bonjour
Je suis en train d'essayer de comprendre la preuve du lemme 1.1 du livre "complex abelian varities, H.lange Ch.Birkenhake" qui dit "any connected compact complex Lie group X of dimension g is a complex torus".
Ce qui me dérange c'est la première partie de la preuve qui consiste à montrer que $X$ est un groupe abélien je cite la preuve.
" First we claim that $X$ is abelian: consider the commutator map $ \Phi(x,y)=xyx^{-1} y^{-1}$ and let $U$ be a coordinate neighbourhoud of the unit element 1 in X. For every $x \in X$ there exist an open neighbourhoud $V_x$ of $x$ and $W_x$ of $1$ in $X$ with $\Phi(V_x,W_x) \subset U $, since $\Phi(x,1)=1 \in U$ and $\Phi$ is continuous. As $X$ is compact, finitely many $V_x$ cover $X$. Denoting by $W$ the intersection of the corresponding finitely many open sets $W_x$, we get $\Phi(X,W) \subset U$. this implies $\Phi(X,W)=1$ since holomorphic functions on compact manifolds are constant and $ \Phi(1,x)=1$ for every $x \in W$. As $W$ is open and nonempty this implies the assertion."
Ce qui me dérange c'est la partie "... this implies $\Phi(X,W)=1$ since holomorphic functions on compact manifolds are constant and $ \Phi(1,x)=1$ for every $x \in W$... "
Je comprends que $U \subset \mathbb{C}^g $ donc $\Phi$ restreint à $X \times W$ est holomorphe ce qui m’échappe est que $X \times W$ n'est pas compact alors comment conclure que $\Phi$ restreint à $X \times W$ est constant ???
Merci de votre aide.
Je suis en train d'essayer de comprendre la preuve du lemme 1.1 du livre "complex abelian varities, H.lange Ch.Birkenhake" qui dit "any connected compact complex Lie group X of dimension g is a complex torus".
Ce qui me dérange c'est la première partie de la preuve qui consiste à montrer que $X$ est un groupe abélien je cite la preuve.
" First we claim that $X$ is abelian: consider the commutator map $ \Phi(x,y)=xyx^{-1} y^{-1}$ and let $U$ be a coordinate neighbourhoud of the unit element 1 in X. For every $x \in X$ there exist an open neighbourhoud $V_x$ of $x$ and $W_x$ of $1$ in $X$ with $\Phi(V_x,W_x) \subset U $, since $\Phi(x,1)=1 \in U$ and $\Phi$ is continuous. As $X$ is compact, finitely many $V_x$ cover $X$. Denoting by $W$ the intersection of the corresponding finitely many open sets $W_x$, we get $\Phi(X,W) \subset U$. this implies $\Phi(X,W)=1$ since holomorphic functions on compact manifolds are constant and $ \Phi(1,x)=1$ for every $x \in W$. As $W$ is open and nonempty this implies the assertion."
Ce qui me dérange c'est la partie "... this implies $\Phi(X,W)=1$ since holomorphic functions on compact manifolds are constant and $ \Phi(1,x)=1$ for every $x \in W$... "
Je comprends que $U \subset \mathbb{C}^g $ donc $\Phi$ restreint à $X \times W$ est holomorphe ce qui m’échappe est que $X \times W$ n'est pas compact alors comment conclure que $\Phi$ restreint à $X \times W$ est constant ???
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Merci pour votre réponse rapide et claire.
J'ai une autre question si cette démonstration est correcte pourquoi les gens ont tendance à recourir à celle-ci qui me semble beaucoup moins évidente ? http://danielmckenzie.github.io/Compact_LG.pdf
Merci.