Supremum essentiel et limite
Soit $(X,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré. Pour tout $p>0,$ et pour toute fonction mesurable $f$ on définit $$||f||_p=(\int_{X}|f|^pd\mu)^{\frac{1}{p}}.$$
Soit $f \in \bigcap_{p>0}L^p,$ telle que $\mu(f \neq 0)>0.$ Prouver que $$\lim_{p \to +\infty}\frac{||f||_{p+1}^{p+1}}{||f||_p^p}=||f||_{\infty},$$ où $||f||_{\infty}$ est le supremum essentiel de $f$.
J'ai réussi à écrire que $||f||_{p+1}^{p+1}\leq||f||_{\infty}||f||_{p}^p$ alors $\limsup_p \frac{||f||^{p+1}_{p+1}}{||f||_p^p}\leq||f||_\infty.$
Un autre résultat, qui me parait utile est $\lim_{p \to \infty}||f||_p=||f||_{\infty}.$
Alors le problème est comment prouver que $||f||_{\infty}\leq\liminf_p\frac{||f||^{p+1}_{p+1}}{||f||_p^p}$?
Soit $f \in \bigcap_{p>0}L^p,$ telle que $\mu(f \neq 0)>0.$ Prouver que $$\lim_{p \to +\infty}\frac{||f||_{p+1}^{p+1}}{||f||_p^p}=||f||_{\infty},$$ où $||f||_{\infty}$ est le supremum essentiel de $f$.
J'ai réussi à écrire que $||f||_{p+1}^{p+1}\leq||f||_{\infty}||f||_{p}^p$ alors $\limsup_p \frac{||f||^{p+1}_{p+1}}{||f||_p^p}\leq||f||_\infty.$
Un autre résultat, qui me parait utile est $\lim_{p \to \infty}||f||_p=||f||_{\infty}.$
Alors le problème est comment prouver que $||f||_{\infty}\leq\liminf_p\frac{||f||^{p+1}_{p+1}}{||f||_p^p}$?
Réponses
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supp
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Message supprimé
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supp
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Il faut l'appliquer, pour obtenir l'inégalité de $\liminf_p$? (A remarquer que $p$ n'est pas un entier)
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Oublie ce que j'ai écrit. Je me suis trompé. Désolé.
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Attention tout de meme, une fonction de $\cap_{p}L_p$ n'est pas forcement bornee. Exemple $(X,\mu)=(\R, N(0,1))$ et $f(x)=e^x.$
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Dans ce cas $||f||_\infty=+\infty$ c'est pour cela je prefere d'utiliser la notion de $\liminf$ et $\limsup$ dans ces genres d'exercices
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Soit $\nu(dy)$ la mesure image de $x\mapsto y= \log |f(x)|$ elle est concentree sur $]-\infty,b]$ si $b$ est le sup essentiel de $\log |f|.$ Soit $$L(p)=\int_{-\infty}^be^{py}\nu(dy) , \ k(p)=\log L(p)$$ Il est demande de montrer que $k(p+1)-k(p)=\int_0^1k'(t+p)dt\to_{p\to \infty}b$ avec $b\leq \infty.$ Par Holder la fonction $k$ est strictement convexe (a moins que $f$ ne soit constante...) Donc sa derivee est croissante et on a donc seulement a montrer que
$k'(p)\to_{p\to \infty}b.$ Si $b<\infty$ alors
$$b-k'(p)=\frac{1}{L(p)}\int_{-\infty}^b(b-y)e^{py}\nu(dy) $$ est decroissante. Reste a verifier que $e^py_0/L(p)\to_{p\to \infty} 0$ si $y_0<b$ pour conclure par convergence monotone. Mais $L(p)e^{-py_0}=\int_{-\infty}^be^{p(y-y_0)}\nu(dy)\to_{p\to \infty} \infty$ et c'est fini pour le cas $b<\infty.$ Ouf j'arrete . -
J'ai pensé à la méthode suivante, pouvez-vous la consulter ?
$\forall p>1,\ \frac{1}{p+1} < \frac{1}{p} < 1,$ alors en posant $\lambda=\frac{\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}}{1-\frac{1}{p+1}}=\frac{1}{p^2}$ et en écrivant $1=p\lambda+p\frac{1-\lambda}{p+1}$ et en utilisant Holder on obtient : $$
\int_{X}|f|^p d\mu \leq (\int_X |f|d\mu)^{1/p}(\int_X |f|^{p+1}d\mu)^{\frac{p-1}{p}},
$$ ce qui implique que $$||f||_{p+1}^{\frac{p+1}{p}} ||f||_1^{\frac{-1}{p}}\leq \frac{||f||^{p+1}_{p+1}}{||f||^p_p}$$ et en utilisant le fait que $\lim\limits_{p \to \infty} ||f||_{p+1}=||f||_{\infty}$ et que $\lim\limits_{p \to \infty}||f||^{-\frac{1}{p}}=1,$ on obtient que $$ ||f||_{\infty} \leq \liminf_p \frac{||f||^{p+1}_{p+1}}{||f||_{p}^p}.
$$ Dans l'attente de vos commentaires, merci ! -
supp
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supp
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supp
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