Bonjour,
On peut sommer une série d'intégrales sur In = [2npi, (2n+2)pi]. Poser un l'intégrale sur [2npi+1/n, (2n+2)pi-1/n] et vérifier que la somme des un converge.
Pour les petits morceaux restants, utiliser f(x) inférieur à 1/x.
Cordialement.
Il y a mes réflexes de cours de physique de manipulation des intégrales à la one again qui sont revenus ^^. Difficile à refréner. L'avantage c'est que ça permet de traiter pleins d'intégrales avec du $2+\cos(x)$ facilement et rapidement (3 lignes pour l'intégrale du 1er mai) ... si on a suffisamment confiance en cette technique. Mais le prix à payer pour rendre ça rigoureux est cher. Je l'ai payé une fois, je n'ai plus rien à dépenser pour cette intégrale du 2 mai.
totem : physique générale de prépa. Cette année, en revanche, les intégrales du type « $\displaystyle \int {\rm d}x \displaystyle \int {\rm d}y \displaystyle \int {\rm d}z\, \mathcal{H}$ » en physique statistique, je n'ai pas pu m'y faire.
@Calli : c'est vrai que parfois les notations "à la physicienne" c'est violent.
Pour ma part, venant de la physique-chimie, j'ai eu énormément de mal à me remettre aux maths "propres"...!
D'ailleurs je trouvais que les maîtres de conf /enseignants-chercheurs malmenaient les équations et faisaient un peu n'importe quoi avec les maths, mais c'est un autre sujet.
Pour ma part, venant de la physique-chimie, j'ai eu énormément de mal à me remettre aux maths "propres"...!
Ça ne m'étonne pas. Je comprends que ce soit difficile de passer des maths décomplexées des physiciens aux maths assez inflexibles des mathématiciens – difficile de se résoudre à justifier consciencieusement des choses considérées évidentes en physique et de trouver les bonnes justifications. Le passage contraire des maths à la mathématicienne aux maths à la physicienne est plus facile : hormis quelques indignations sur le manque de rigueur de certaines preuves, on s'y fait vite. Le plus dur quand on passe des maths à la physique c'est d'acquérir le sens physique.
@Calli : ah...le sens physique...même certains physiciens en semblent parfois dépourvus :-)
Le pire c'est que j'avais lu ce qui me semblait être des horreurs mathématiques dans des revues scientifiques, et qui auraient fait bondir n'importe quel mathématicien "sérieux"...::o enfin il faut croire que c'est comme ça que la recherche avance ! 8-)
Moi c'est en chimie de sup que j'avais été traumatisé : hypothèse : supposons pH<6,5. On fait toute une série de calculs (en négligeant [OH-] si mes souvenirs sont corrects) ... On trouve un pH<6,5. Ah bah on avait eu raison de supposer pH<6,5 parce qu'on l'a trouvé :-D. La prof, dont il se disait qu'elle avait été cacique à Sèvres, ne semblait pas voir où était le problème pour un matheux.
En revanche, l'intuition (physique ou autre) peut mener à des résultats corrects, c'est donc un très bon outil, il s'agit juste de voir si après on est en mesure de voir si on peut rendre cela précis.
@math 2 :
Soit $pH<6,5$ soit $pH>6,5$.
On suppose $pH<6,5$, on fait des approximations grâce à cette hypothèse, on trouve un $pH<6,5$. C’est bon.
Ce que le prof ne dit pas c’est que si on suppose $pH>6,5$ alors les approximations mènent à $pH<6,5$ et l’hypothèse peut être rejetée.
Comme on se doute que la solution possède une seule valeur de $pH$, on n’a pas besoin de faire l’autre hypothèse : dès qu’on trouve une solution c’est la solution.
On dit que $\rho_t$ est négligeable devant $div J$, càd qu’il existe $\varepsilon<<1$ tel que $\rho_t=div( J)\varepsilon$ pour tous les temps et dans tout l’espace.
On reporte $div (J)(1+\varepsilon)=0$ et comme $1+\varepsilon \neq 0$ on a bien, rigoureusement, $div J=0.$
Non ?
Dire qu’une quantité est négligeable devant une autre ne signifie pas qu’elle est nulle. La masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil.
Les raisonnements physiques sont très profonds. Des fois on va trop vite dans l’expression orale, et on dit n’importe quoi. Mais il ne faut pas en déduire que les raisonnements sont faux. Il faut faire l’effort de l’exprimer clairement physiquement et mathématiquement. C’est du boulot !
Mais imagines-tu un professeur de physique-chimie en première ou terminale espérer que les élèves comprennent un raisonnement par contraposée - qui plus est hors du cours de maths ?
Je me rappelle cette époque dans mon lycée et je ne crois pas que plus de deux élèves par classes comprennent. On fait avec ce qu’on a : ici, la logique mathématique fait défaut et le livre contourne la difficulté avec une pirouette ‘qui marche’.
Je me rappelle aussi que la prof avait fait une fois l'hypothèse autre pour trouver la contradiction. Une fois suffit.
En réponse à side, par YvesM dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1994852,1995474#msg-1995474 je trouve le raisonnement de YvesM parfait; mais à comprendre dans ce sens précis : si $\rho_t$ est négligeable devant $div J$ alors la relation locale de la conservation de la charge $div (J)+\rho_t=0$ ne peut avoir lieu que si $div (J)=\rho_t=0$.
Où est le problème dans ce ci mathématiquement side ?
C’est l’habitude de dire X est négligeable devant Y quand on ne retient qu’une des deux dans X+Y. Mais effectivement ça ne marche pas dans cette équation où la somme est nulle.
Pour les circuits il faut séparer phase transitoire et phase permanente.
On trouve effectivement des calculs bien faux qui donnent des résultats justes (vérifiés expérimentalement) avec les forces de van der Walls et en théorie quantiques des solides ou on oublie simplement que les intégrales divergent... et dans d’autres domaines.
Je n’ai plus la référence mais en physique quantique des particules, pour justifier un calcul faux mais qui donnait un résultat juste, un laboratoire de recherche a travaillé 10 ans : plusieurs thésards ont programmé un logiciel formel spécialisé pour calculer certaines intégrales. Puis, ils ont calculé 680 intégrales pour aboutir au résultat. Le même résultat qui s’obtient en dix minutes ´physiciennes’ qui ne manipulent que des intégrales divergentes. Il s’agit d’un calcul de boucles de Feynman. Il faut 680 intégrales pour l’ordre 5.
Je ne comprends pas cette phrase donc l'hypothèse qui a permis d'aboutir à la conclusion est fausse. A ma connaissance la fonction nulle est négligeable devant elle même . donc je ne vois pas le problème
Donc le raisonnement est correct mathématiquement : on démontre que si $\rho_t$ est négligeable devant $divJ$ alors les deux quantités sont nulles.
Mais il est difficile de raisonner physiquement sur des quantités nulles.
Peut-être devrait-on justifier que $\rho_t=0$ par un raisonnement physique plutôt que de passer par la comparaison avec la divergence ; mais ça dépend du problème donné...
Les physiciens ne disent pas n'importe quoi mais ils sont maladroit quand à expliquer mathématiquement leurs intuitions ( leurs calculs) , c'est comme si on demande à un matheux d’interpréter physiquement une équation mathématique issue de la physique
@side : et il t'avait répondu quoi ton prof de spé ? :-D
Tu as fait quelle école au fait ? moi Phelma Grenoble , enfin ex-ENSEEG devrais-je plutôt dire (je ne comprends rien à toutes ces fusions- acquisitions qui s'emparent des écoles d'ingénieurs depuis quelques années ::o)
@YvesM :je croyais que pour la négligeabilité il fallait "$\forall \epsilon$" et non pas "$\exists \epsilon$" ?
« Bonjour, je m'appelle Brian et je suis un traumatisé du raisonnement foireux. » :-)
(J'ai également subi l'horrible raisonnement sur le pH et ai commencé à détester la chimie à partir de la Terminale alors que j'aimais bien cette matière jusque-là. Bref.)
Voici ma petite expérience de raisonnement faux de prof. de physique, subie deux fois à 2-3 ans d'intervalle. Le premier était en électromagnétisme avec des EDP, le second en transferts thermiques (peut-être aussi avec des EDP, je ne me souviens plus). Le problème était exactement le même dans les deux cas.
Nous avions modélisé un problème physique et étions parvenus à des équations que nous ne savions résoudre avec les modestes outils à notre disposition. Le prof. nous balance une fonction, montre qu'elle est solution des équations et nous sort : « C'est forcément la bonne solution car le problème physique n'en a qu'une. »
Je n'ai pas osé ouvrir ma bouche, mais je pensais très fort : « Eh bé, Coco, si tu peux faire ça, pourquoi ne choisis-tu pas un modèle complètement simpliste et débile dans lequel il n'y a quasiment aucun calcul à faire ? De toute façon, avec ton argument, toute solution du modèle ne peut être que “la bonne” ! »
De manière à peine plus subtile, même avec un modèle pas trop pourri, on peut très bien aboutir à des équations ayant plusieurs solutions. Puisque la réalité physique n'en montre qu'une(*), la conclusion logique de cette affaire est qu'il faut trouver des arguments pour disqualifier toutes les solutions, sauf une (si toutes sont disqualifiées, c'est que le modèle ne convient pas). Se contenter de dire « j'ai trouvé un truc qui vérifie mes équations, donc c'est le bon », c'est du gros pipeau.
(*) Du moins semble-t-il, car peut-être que si l'on répétait l'expérience quelque $10^{80}$ fois...
Bienvenu chez les contrariés de la physique anonymes brian. :-)
C'est vrai que parfois il peut y avoir plusieurs solutions à un problème physique. Par exemple, un pendule rigide a deux positions d'équilibre : vertical vers le bas et vertical vers le haut. Et on doit donner un argument de stabilité pour rejeter l'une des deux possibilités.
Réponses
On peut sommer une série d'intégrales sur In = [2npi, (2n+2)pi]. Poser un l'intégrale sur [2npi+1/n, (2n+2)pi-1/n] et vérifier que la somme des un converge.
Pour les petits morceaux restants, utiliser f(x) inférieur à 1/x.
Cordialement.
Je trouve que ça converge. J'ai utilisé le même raisonnement que pour l'intégrale du 1er mai. De même que pour cette autre intégrale, ce raisonnement un peu approximatif peut être rendu rigoureux (voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1994532,1994860#msg-1994860).
Faisons un calcul préliminaire. Ci-dessous, on a $\lambda >1$ et on fait le changement de variable $u=\lambda ^{x}$, $\mathrm{d}u=\ln(\lambda )u\, \mathrm{d}x$, $x= \frac{\ln(u)}{\ln(\lambda )}$.
\begin{eqnarray*}
\int _{1} ^{\infty } \frac{\mathrm{d}x}{x\lambda ^{x}} &=& \int _{\lambda } ^{\infty } \frac{\mathrm{d}u}{u^2 \ln(u)} \\[1mm]
&\leqslant & \int _{\lambda } ^{2} \frac{\mathrm{d}u}{(u-1)/2} + \int _{2} ^{\infty } \frac{\mathrm{d}u}{u^2 \ln(u)} \\[2mm]
&\underset{\lambda \rightarrow 1}=& O(\ln(\lambda -1))
\end{eqnarray*}
Donc :\begin{eqnarray*}
\int _{1} ^{\infty } \frac{(2+\cos(x))^{x} }{x\,3^{x}} \,\mathrm{d}x &=& \int _{0<\varepsilon <2} \left( \int _{1-\varepsilon <\cos(x)<1-\varepsilon +\mathrm{d}\varepsilon } \frac{(3-\varepsilon )^{x} }{x3^{x}} \,\mathrm{d}x \right) \\[1.5mm]
&\approx& \int _{0<\varepsilon <2} \left( \int_1^\infty \frac{1}{x} \left( \frac{3-\varepsilon }{3} \right)^{x} \,\mathrm{d}x \right) \frac{{\rm d}(\arccos(1-\varepsilon ))}{\pi }\\[1.5mm]
&=& \int _{0} ^{2} \left( \int_1^\infty \frac{1}{x} \left(1- \frac{\varepsilon }{3} \right)^{x} \,\mathrm{d}x \right) \frac{\lvert\arccos'(1-\varepsilon )\rvert}{\pi } \,\mathrm{d}\varepsilon \\[1.5mm]
&=& \int _{0} ^{2} O\left( \ln\left( \frac{\varepsilon }{3}\right)\right) \,O\bigg( \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }} \bigg) \,\mathrm{d}\varepsilon \\[1.5mm]
&<& +\infty
\end{eqnarray*}
Edit : J'ai corrigé une erreur de calcul. J'avais écrit $\displaystyle\int _{1} ^{\infty } \frac{\mathrm{d}x}{x\lambda ^{x}} = \ln(\lambda) \int _{\lambda } ^{\infty } \frac{\mathrm{d}u}{u^2 \ln(u)} .$
Pour ma part, venant de la physique-chimie, j'ai eu énormément de mal à me remettre aux maths "propres"...!
D'ailleurs je trouvais que les maîtres de conf /enseignants-chercheurs malmenaient les équations et faisaient un peu n'importe quoi avec les maths, mais c'est un autre sujet.
Ça ne m'étonne pas. Je comprends que ce soit difficile de passer des maths décomplexées des physiciens aux maths assez inflexibles des mathématiciens – difficile de se résoudre à justifier consciencieusement des choses considérées évidentes en physique et de trouver les bonnes justifications. Le passage contraire des maths à la mathématicienne aux maths à la physicienne est plus facile : hormis quelques indignations sur le manque de rigueur de certaines preuves, on s'y fait vite. Le plus dur quand on passe des maths à la physique c'est d'acquérir le sens physique.
Le pire c'est que j'avais lu ce qui me semblait être des horreurs mathématiques dans des revues scientifiques, et qui auraient fait bondir n'importe quel mathématicien "sérieux"...::o enfin il faut croire que c'est comme ça que la recherche avance ! 8-)
En revanche, l'intuition (physique ou autre) peut mener à des résultats corrects, c'est donc un très bon outil, il s'agit juste de voir si après on est en mesure de voir si on peut rendre cela précis.
@math 2 :
Soit $pH<6,5$ soit $pH>6,5$.
On suppose $pH<6,5$, on fait des approximations grâce à cette hypothèse, on trouve un $pH<6,5$. C’est bon.
Ce que le prof ne dit pas c’est que si on suppose $pH>6,5$ alors les approximations mènent à $pH<6,5$ et l’hypothèse peut être rejetée.
Comme on se doute que la solution possède une seule valeur de $pH$, on n’a pas besoin de faire l’autre hypothèse : dès qu’on trouve une solution c’est la solution.
Ça me parait 100% rigoureux.
Non ?
Heureusement qu'il reste "la déraisonnable efficacité des mathématiques en physique " pour citer Paul Wigner.
De $(pH \geq 6.5 \implies pH < 6.5)$ on peut déduire que $pH < 6.5$.
Mais $(pH < 6.5 \implies pH < 6.5)$ ne sert à rien.
Justifier une tautologie et passer sous silence l'argument pertinent semble pour le moins étrange.
@side :
Laisse-moi tenter :
On a $div (J)+\rho_t=0.$
On dit que $\rho_t$ est négligeable devant $div J$, càd qu’il existe $\varepsilon<<1$ tel que $\rho_t=div( J)\varepsilon$ pour tous les temps et dans tout l’espace.
On reporte $div (J)(1+\varepsilon)=0$ et comme $1+\varepsilon \neq 0$ on a bien, rigoureusement, $div J=0.$
Non ?
Dire qu’une quantité est négligeable devant une autre ne signifie pas qu’elle est nulle. La masse de la Terre est négligeable devant celle du Soleil.
Les raisonnements physiques sont très profonds. Des fois on va trop vite dans l’expression orale, et on dit n’importe quoi. Mais il ne faut pas en déduire que les raisonnements sont faux. Il faut faire l’effort de l’exprimer clairement physiquement et mathématiquement. C’est du boulot !
@siméon : nous sommes bien d’accord.
Mais imagines-tu un professeur de physique-chimie en première ou terminale espérer que les élèves comprennent un raisonnement par contraposée - qui plus est hors du cours de maths ?
Je me rappelle cette époque dans mon lycée et je ne crois pas que plus de deux élèves par classes comprennent. On fait avec ce qu’on a : ici, la logique mathématique fait défaut et le livre contourne la difficulté avec une pirouette ‘qui marche’.
Je me rappelle aussi que la prof avait fait une fois l'hypothèse autre pour trouver la contradiction. Une fois suffit.
Où est le problème dans ce ci mathématiquement side ?
@side : Tu marques un point.
C’est l’habitude de dire X est négligeable devant Y quand on ne retient qu’une des deux dans X+Y. Mais effectivement ça ne marche pas dans cette équation où la somme est nulle.
Pour les circuits il faut séparer phase transitoire et phase permanente.
On trouve effectivement des calculs bien faux qui donnent des résultats justes (vérifiés expérimentalement) avec les forces de van der Walls et en théorie quantiques des solides ou on oublie simplement que les intégrales divergent... et dans d’autres domaines.
Je n’ai plus la référence mais en physique quantique des particules, pour justifier un calcul faux mais qui donnait un résultat juste, un laboratoire de recherche a travaillé 10 ans : plusieurs thésards ont programmé un logiciel formel spécialisé pour calculer certaines intégrales. Puis, ils ont calculé 680 intégrales pour aboutir au résultat. Le même résultat qui s’obtient en dix minutes ´physiciennes’ qui ne manipulent que des intégrales divergentes. Il s’agit d’un calcul de boucles de Feynman. Il faut 680 intégrales pour l’ordre 5.
@side et @gebrane.
Donc le raisonnement est correct mathématiquement : on démontre que si $\rho_t$ est négligeable devant $divJ$ alors les deux quantités sont nulles.
Mais il est difficile de raisonner physiquement sur des quantités nulles.
Peut-être devrait-on justifier que $\rho_t=0$ par un raisonnement physique plutôt que de passer par la comparaison avec la divergence ; mais ça dépend du problème donné...
Tu as fait quelle école au fait ? moi Phelma Grenoble , enfin ex-ENSEEG devrais-je plutôt dire (je ne comprends rien à toutes ces fusions- acquisitions qui s'emparent des écoles d'ingénieurs depuis quelques années ::o)
@YvesM :je croyais que pour la négligeabilité il fallait "$\forall \epsilon$" et non pas "$\exists \epsilon$" ?
(J'ai également subi l'horrible raisonnement sur le pH et ai commencé à détester la chimie à partir de la Terminale alors que j'aimais bien cette matière jusque-là. Bref.)
Voici ma petite expérience de raisonnement faux de prof. de physique, subie deux fois à 2-3 ans d'intervalle. Le premier était en électromagnétisme avec des EDP, le second en transferts thermiques (peut-être aussi avec des EDP, je ne me souviens plus). Le problème était exactement le même dans les deux cas.
Nous avions modélisé un problème physique et étions parvenus à des équations que nous ne savions résoudre avec les modestes outils à notre disposition. Le prof. nous balance une fonction, montre qu'elle est solution des équations et nous sort : « C'est forcément la bonne solution car le problème physique n'en a qu'une. »
Je n'ai pas osé ouvrir ma bouche, mais je pensais très fort : « Eh bé, Coco, si tu peux faire ça, pourquoi ne choisis-tu pas un modèle complètement simpliste et débile dans lequel il n'y a quasiment aucun calcul à faire ? De toute façon, avec ton argument, toute solution du modèle ne peut être que “la bonne” ! »
De manière à peine plus subtile, même avec un modèle pas trop pourri, on peut très bien aboutir à des équations ayant plusieurs solutions. Puisque la réalité physique n'en montre qu'une(*), la conclusion logique de cette affaire est qu'il faut trouver des arguments pour disqualifier toutes les solutions, sauf une (si toutes sont disqualifiées, c'est que le modèle ne convient pas). Se contenter de dire « j'ai trouvé un truc qui vérifie mes équations, donc c'est le bon », c'est du gros pipeau.
(*) Du moins semble-t-il, car peut-être que si l'on répétait l'expérience quelque $10^{80}$ fois...
C'est vrai que parfois il peut y avoir plusieurs solutions à un problème physique. Par exemple, un pendule rigide a deux positions d'équilibre : vertical vers le bas et vertical vers le haut. Et on doit donner un argument de stabilité pour rejeter l'une des deux possibilités.