Du local au global

Je ne comprends pas pourquoi les points sont indexés par $n$ et pas par $c$. Pourquoi ces suites extraites (mystérieuses, du coup) de points appartiennent-elles à partir d'un certain rang au même voisinage - d'un $x$ quelconque, en plus - alors qu'elles ont des limites différentes ?

Tu n'expliques pas pourquoi Pour n assez grand , y_phi(n) et z_phi(n) sont éléments de Vx

Il fallait l’écrire dans ta preuve. et le x on dirait tu le prends quelconque

Le raisonnement est bon mais quelques maladresses

Peux tu démontrer ce résultat sans le recours à ce raisonnement par l'absurde ?

Oui mais il faut trouver le raisonnement par toi même. D’après ta première preuve t'en es capable

Oui difficile que l'absurde mais si tu t'en sorte je te dirais bravo.

Salut,

Pas d'accord pour changer tout-de-suite de raisonnement, j'ai peut-être mal compris, mais je trouve le truc nébuleux et pense que ça ne prouve rien. Donc avant de chercher une autre stratégie, je propose de déjà voir ce qui ne va pas ici et comment on pare la difficulté:

On suppose deux suites $(z_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in \mathbb{N}}$ tels que ... Jusqu'ici tout va bien.
Du fait que $X$ est compact, tu peux dire qu'il existe une suite extraite $z_{\phi(n)}$ et une suite $y_{\psi(n)}$ qui convergent: c'est ok connais les propriété du compact ...
Mais que tu dise qu'a priori qu'il existe $\phi$ tel $(z_{\phi(n)})$ et $(y_{\phi(n)})$ convergent toutes deux... Il faut être capable de le justifier (même si c'est vrai).
Du coup, je te propose de reprendre le départ:
- $X$ est compact, donc $X\times X$ aussi (tu cites la propriété).
Et là tu recommences et ça t'évites de te prendre le chou avec le problème que j'ai soulevé à l'instant.
Tu as définis une suite dans $X^2$ selon l'hypothèse à infirmer, elle un élément $(l,l')$ dans son adhérence, on tire une suite extraite qui converge vers cet élément...

Mais je pense que tu n'as pas fini:
Premiers cas: $l=l'$, d'où vient l'absurdité? (c'est le cas facile, mais il faut quand même le justifier)
Second cas, plus subtil: $l\neq l'$. Montre l'absurdité, mais essaye de le faire un peu proprement, par exemple, $\forall n$ à l'aide d'une majoration $d(l,l')$ faisant intervenir $d(l,y_{\phi(n)})$, $d(l',z_{\phi(n)})$ et $d(y_{\phi(n)},z_{\phi(n)})$ et à partir d'un certain rang d'une minoration de $d(f(l),f(l'))$ à l'aide de $k_{l}$, $k_{l'}$, $d(l,y_{\phi(n)})$, $d(l',z_{\phi(n)})$ $d(f(y_{\phi(n)}),f(z_{\phi(n))})$. Et tu nous dis clairement où est l'absurdité (en faisant bien sûr appel à $d(f(l),f(l'))/d(l,l')$).

@gebrane: il y en a sûrement d'autres, mais la seule solution directe et assez évidente que je vois fait explicitement appel à la "vraie" définition du compact (tout recouvrement par des ouverts admet un sous-recouvrement fini). Dans le cas où on pense à la même, il faut d'abord qu'on s'assure que don_jaunes2 a cette définition ou qu'il sait la démontrer depuis la caractérisation séquentielle du compact (dans les métriques). Et par exemple en spé, cette définition, ils ne l'ont pas (enfin, je crois, en tout cas, moi je ne savais pas et ça fait à peine plus de dix ans).

Ah oui... oups...