$g$ telle que $g \circ g(x) = x$

Encore une fois, ça fait partie des choses que je devrais voir immédiatement, et que je n'arrive pas à voir.

Nan mais, j'ai compris la remarque sur la symétrie, c'est évident que ça doit être vrai. Mais je n'y ai pas pensé tout seul, et j'aurais dû y arriver, justement.

Bon, j'ai reçu pas mal d'aide via MP, alors je vais quand même détailler les choses ici.

Existence du point fixe : supposons que $f(x) \neq x$ pour tout $x$. Fixons un $x_0$ quelconque et appelons $y_0 = f(x_0)$, de sorte que $x_0 = f(y_0)$. Un peu comme dans l'énoncé de mon exercice de départ, on va regarder ce qu'il se passe sur le segment d'extrémités $x_0$ et $y_0$. On sait que $f - id$ est continue, donc on applique le TVI. Si $x_0 < y_0$, $(f - id)(x_0) = y_0 - x_0 > 0$ et $(f-id)(y_0)=x_0 - y_0 < 0$, donc $f-id$ s'annule quelque part. Donc il existe un point fixe entre $x_0$ et $y_0$, contradiction.

Prolongement : j'ai réfléchi trop vite, comme d'habitude. Je sais quel est le prolongement "sur un dessin" mais je dois encore réussir à l'écrire proprement.

gebrane : j'essaierai de déchiffrer alors :-)

Soit $g$, monotone (disons, croissante, décroissante ça marchera pareil en changeant le sens des inégalités) sur $J$ et surjective de $J$ sur $I$ et soit $x_0 \in J$. Voyons si $g$ est continue en $x_0$.

Soit $\epsilon \geqslant 0$. On cherche s'il existe $\eta \geqslant 0$ tel que $|g(x) - g(x_0)| \leqslant \epsilon$ pour tout $x \in [x_0 - \eta ; x_0 + \eta]$. Je me débarrasse des valeurs absolues : $|g(x) - g(x_0)| \leqslant \epsilon$ c'est $g(x) \in [g(x_0) - \epsilon ; g(x_0) + \epsilon]$. Soit $y \in [g(x_0) ; g(x_0) + \epsilon]$. Comme $g$ est surjective, il existe $x \in J$ tel que $y=g(x)$, et comme $g$ est croissante, on sait que $x \geqslant x_0$. Si on prend $y_0 = g(x_0) + \epsilon$, on trouve qu'il existe $\eta_+ \geqslant 0$ tel que $y_0 = g(x_0) + \epsilon = g(x_0 + \eta_+)$. On refait le même raisonnement sur $[g(x_0) - \epsilon ; g(x_0)]$, ce qui fournit un $\eta_-$. On pose $\eta = \min(\eta_- ; \eta_+)$ et c'est réglé. $g$ est continue en $x_0$.

Je me rends compte, en résolvant ce petit exercice, que même si j'ai l'impression d'y être arrivé, ça ne m'a pas particulièrement intéressé ou plu. Je suis content d'avoir réussi à écrire un raisonnement formel qui justifie "ce qui a l'air évident sur un dessin", mais... sans plus. J'aurais espéré que ça me fasse quelque chose de plus.

Quoique... si $x_0$ est la borne inf de $J$, il n'y a que $[g(x_0), g(x_0) + \epsilon]$ à traiter, et vice-versa si c'est la borne sup. Je ne sais pas si remplacer le $\forall \epsilon > 0$ classique de la continuité par "pour tout $\epsilon > 0$ tel que $]g(x_0) - \epsilon ; g(x_0) + \epsilon[ \subseteq J$ est parfaitement licite, mais en même temps, si ça ne l'est pas, je bloque un peu...

J'avais commencé par un raisonnement par l'absurde, mais je préfère un raisonnement direct quand c'est possible, et c'est ça que j'avais commencé par écrire. Figure-toi que je ne faisais pas le lien "automatiquement" entre monotonie et limites à gauche/droite...

gebrane : dans le théorème de la bijection que moi, je connais, la bijectivité est la conclusion, pas une hypothèse. Mais en fouillant sur Wikipédia, l'article "théorème de la bijection" contient aussi ce résultat.

Siméon : je vais essayer.

Je trouve $\phi = id - g$, mais je l'ai surtout sorti de mon chapeau magique... à quelle intuition visuelle pensais-tu ?

Cette fois, $g$ est toujours une bijection, mais c'est $g^{n-1}$ qui est son inverse. Donc le carré qu'il faut regarder, c'est les points :
$(x,x)$, $(x,g^{n-1}(x))$, $(g^{n-1}(x),x)$, $(g^{n-1}(x),g^{n-1}(x))$. Cette fois, c'est $y = g^{n-1}(x)$ qu'il faut poser, on a bien $g(y)=x$.
$y - g(y) = g(x) - x$, donc la fonction $\phi : t \longmapsto t - g(t)$ vérifie encore $\phi(y) := \phi(g(x)) = - \phi(x)$.

Je pense que tous les arguments que j'ai utilisés pour montrer que $\phi$ est un homéomorphisme dans le cas $n=2$ marchent encore ici... comme quoi j'ai bien fait de demander l'idée géométrique :-D


EDIT : $g$ est supposée être un homéomorphisme, donc j'ai déjà la continuité, et la bijectivité me redonne l'argument de la stricte monotonie et des limites infinies aux infinis,. Mais je ne sais pas si $g$ est décroissante (strictement, a fortiori), ça demande à être vérifié à part. Dans le cas $n=2$, c'était une des hypothèses. Je doute fort que quand $n>2$, un homéomorphisme qui vérifie $g^n = id$ soit automatiquement décroissant, mais je n'ai pas encore vérifié.

Parce que ce n'était pas dans le dernier message de Siméon. C'est une hypothèse nécessaire (et donc un oubli/sous-entendu de sa part) ?