Terme général d'une suite

Cere · May 2020

Bonjour à tous,
Je voudrais savoir comment faire pour trouver le terme général de la suite défini par la relation de récurrence suivante:
$a_{1} = 1$ et $\forall n \in \mathbb{N}^{*} \ : (2n+1)(2n+2)a_{n+1}=4n^{2}a_{n}$

Merci d'avance pour vos réponses !

Math Coss · May 2020

Problèmes dans l'énoncé :

on donne $U_0$ et on cherche $a_n$, pas cohérent ; ça se corrige implicitement ;
pour $n=0$, on trouve $(2n+1)(2+2)a_1=4\cdot0^2a_0$ donc $a_1=0$ puis $a_n=0$ pour $n\ge2$ ;
je soupçonne que tu voulais écrire $2n+2$ à la place de $2+2$.

Tu voudrais préciser la question ?

Cere · May 2020

Milles excuses pour la non relecture de mon post.
Effectivement, deux erreurs sur la définition; on donne $a_{1} = 1$ et c'est bien $2n+2$, j'ai édité.

Edit: Vraiment désolé pour la perte de temps que j'ai occasionné

Calli · May 2020

Bonjour,
Commence par chercher $a_2, a_3, a_4$ (sans calculer les multiplications, laisse les facteurs tels quels). Une formule à base de factorielles et de facteurs géométriques devrait apparaître.

sanji · May 2020

Une autre méthode consiste à poser la série génératrice.

YvesM · May 2020

Bonjour,

C’est de la forme : $a_{ n+1}=f(n)a_n$ pour $n\geq 1.$

On a donc $a_2=f(1)a_1$, $a_3=f(2)a_2=f(2)f(1)a_1$...
et par récurrence $a_m=f(m-1)f(m-2)...f(1)a_1$...

jean lismonde · May 2020

bonjour

tu considères le terme général : $a_n = \frac{2(n-1)^2}{(2n-1).n}a_{n-1}$

tu écris les n - 1 lignes de la relation récurrente descendue jusqu'à n = 2

et tu fais le produit des n - 1 lignes membre à membre

après simplification et puisque $a_1 = 1$ il vient :

$$a_n= \frac{2^{2n-1}(n!)^2}{n^2.(2n!)}$$

d'après Wallis la suite de terme général $a_n$ converge vers 0 comme $\frac{\sqrt{\pi}}{2n\sqrt{n}}$

cordialement

Cere · May 2020

Merci pour vos réponses, j'ai suivi vos conseils.
$a_{n+1} = \frac{4n^{2}}{(2n+1)(2n+2)}$
Donc $a_{n} = \prod_{k=1}^{n-1}\frac{4k^{2}}{(2k+1)(2k+2)}$
Et on trouve : $a_{n}= \frac{2^{2n-1}(n-1)!^{2}}{(2n)!}$

Je ne saurais par contre pas m'en sortir avec une série génératrice.

Edit: Merci beaucoup @Jean, dans la même minute que mon poste, tu avais écris la réponse

Math Coss · May 2020

Sage confirme.

sage: def u(n):
....:     if n==1:
....:         return 1
....:     return 1/(2*n-1)/(2*n)*4*(n-1)^2*u(n-1)
....: 
sage: def v(n):
....:     return 2^(2*n-1)*factorial(n-1)^2/factorial(2*n)
....: 
sage: [u(k) for k in range(1,10)]
[1, 1/3, 8/45, 4/35, 128/1575, 128/2079, 1024/21021, 256/6435, 32768/984555]
sage: [v(k) for k in range(1,10)]
[1, 1/3, 8/45, 4/35, 128/1575, 128/2079, 1024/21021, 256/6435, 32768/984555]

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