Un exercice sans doute lié à Rolle

supp

Je ne parviens à démontrer ce truc uniquement par Rolle ( en cascade).

Bonjour,

On définit le polynôme $P$ de degré $3$ par ces conditions : $P(-1)=0, P’(0)=0, P(1)=1,P(0)=f(0).$
On calcule $P(x)=\frac12 x^3+(\frac12-f(0))x^2+f0).$

On calcule $P^{(3)}(x)=3$ sur l’intervalle.

On définit la fonction $g$ par $g(x)=f(x)-P(x).$

On suppose $g^{(3)}(x)>0$ pour tout $x\in]-1,1[.$

Donc $g”$ est strictement croissante.

Si elle est positive, alors la fonction $g$ est convexe. Et comme $g$ s’annule en $-1,0,1$ elle est identiquement nulle. Et donc $f^{(3)}=P^{(3)}.$
Si elle est négative, alors la fonction $g$ est concave donc nulle.

Si $g”$ s’annule, elle est nécessairement négative puis positive. Donc la fonction $g’$ est décroissante puis croissante. Contradiction avec $g(-1)=g(0)=g(1)=0$ sauf si $g$ est nulle.

De même quand on suppose $g^{(3)}<0$.

Donc il existe un réel annulant $g^{(3)}=0$ dans l’intervalle ouvert.

Voilà !

Bonsoir,
Jandri: ton idée ne fonctionne pas... Il n'y a qu'un seul polynôme $P$ de degré 3 tel que $P(-1)=P'(0)=0$ et $P(1)=1$, tu ne peux pas lui en demander plus.

Ah oui... J'ai complètement tripé... désolé

Cela dit, si j'ai bien compris, tu lui ajoute quelques conditions: afin de coller au problème à la fin, il y a le coefficient d'ordre 3 égal à 1/2 (ce qui nous ramène sur le polynôme qu'on utilise), du coup, il n'y a plus de paramètres pour s'assurer d'avoir la dérivée qui croise celle de $f$ en deux autres points que "0".

Euh... YvesM, il y a un quiproquo... Je n'ai aucun problème avec ta solution. Mais quelqu'un a proposé une autre stratégie qui me semble vouée à l'échec.

Re,
Oui, désolé, ton idée était la bonne et je n'ai pas tilté que c'était les polynômes présentés après... Je me suis dit que ça faisait trop de contraintes, mais apparemment, les constantes sont faites pour ça.

Je pense que "c'est moins rigolo" (ou plutôt moins plaisant) de passer par "des DL". Ce qui suit n'a aucune validité mathématique, j'insiste bien, mais l'objectif est d'inviter sur un terrain qui semble plus ludique.

Soit $g$ telle que $\forall x\in [0,1]: f(x)=g(x^2)$. Soit $u\in ]0,1[$ tel que $f'(u)=2ug'(u^2)=2u$, avec $g'(u^2)=1$. Alors $f''(v)=2$, pour un $v$ bien choisi, si on a en pluss supposé $f''(0)=0$ par exemple.

En gros, on pourrait même imaginer un petit logiciel dédié qui ferait des compositions au hasard dans tous les sens...

Du coup ça m'inspire une question dans IEFD, que je m'en vais écrire tout de suite.

C'est peut-être moins rigolo avec des DL la formule de Taylor-Lagrange, mais c'est drôlement plus facile (d'ailleurs la formule utilisée, Taylor-Lagrange, c'est une application du théorème de Rolle :-D):

$\exists \theta_{1} \in\, ]0 ; 1[\ $ tel que $\ f(1)=f(0)+f'(0)+\dfrac 1 2 f''(0) + \dfrac 1 6 f'''(\theta_{1})$
$\exists \theta_{2} \in\, ]{-}1 ; 0[$ tel que $f(-1)=f(0)-f'(0)+\dfrac 1 2 f''(0) - \dfrac 1 6 f'''(\theta_{2})$
donc:
$1=f(0)+\dfrac 1 2 f''(0) + \dfrac 1 6 f'''(\theta_{1})$
$0=f(0)+\dfrac 1 2 f''(0) - \dfrac 1 6 f'''(\theta_{2})$
En faisant la différence, on trouve que: $f'''(\theta_{1}) +f'''(\theta_{2})=6$.

Donc $f'''(\theta_{1})$ et $f'''(\theta_{2})$ ne peuvent être tous les deux $<3$ ou tous les deux $>3$.

Donc l'un est $\leqslant 3$ et l'autre $\geqslant 3$ et donc par le TVI il existe $\theta_{3} \in\, ]-1 ; 1[$ tel que $f'''(\theta_{3})=3$.

Edit : je rajoute les $\exists$ suite au message de @Christophe (voir juste après) :-D

Ce ne sont pas des développements limités ça, c'est la formule de Taylor-Lagrange. Un développement limité n'apporte qu'une information locale.

@Jandri
En fait je l'ai posté car j'ai vu que ça marchait. Mais effectivement la question était d'appliquer Rolle. (En fait la formule de Taylor-Lagrange c'est du Rolle pour la démontrer).

Tu as très clairement exposé la technique qui utilise un polynôme auxiliaire, ça me l'a rappelée, je ne l'avais plus vraiment en tête. Je me souviens que c'est cette technique qu'on utilise pour majorer l'erreur qu'on commet quand on utilise un polynôme d'interpolation ... de Lagrange justement!

Pour connexions des thématiques: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1987488,2004950#msg-2004950