Théorème de convergence dominée

Kcg · May 2020

Bonsoir à tous.
Svp j'ai des difficultés dans la compréhension et l'utilisation du théorème de convergence dominée, en particulier dans le cas des intégrales dépendant d'un paramètre.
J'ai joint deux images, où ce théorème est utilisé, à mon message.
Dans la première image, question 3 , j'ai compris leur utilisation de ce théorème en supposant qu'ils ont substituer le $n$ du théorème à $x$ et ainsi calculer la limite à l'infini ; dans la deuxième images , question 5 , ils ont encore appliqué ce théorème, mais cette fois ci ce n'est pas à l'infini et c'est là que je suis perdu.
Ma question est donc la suivante :- peut-on appliqué ce théorème pour intervertir limite et intégrale en un point quelconque et pas seulement à l'infini?
-la substitution de $n$ à $x$ ne cause pas problème du fait que $n$ est un entier et $x$ un réel ?
Besoin d'éclaircissement svp. Merci d'avance 101750

gebrane · May 2020

Tu peux regarder le théorème 4.2.1 http://couture.perso.math.cnrs.fr/L3-Integration/Chap4-Theoreme_De_Convergence_Dominee.pdf

Kcg · May 2020

Désolé @Gebrane , mais j'ai lu et relu le théorème 4.2.1 mais je n'ai toujours pas eu de réponse à ma question. le théorème 4.2.1 donne les critères de continuité , mais mon soucis est au niveau du calcul des limites et le fait d'intervertir limite et intégrale en un point quelconque et même en l'infini.

gebrane · May 2020

La continuité permet d'intervertir limite et intégrale

Kcg · May 2020

oui ,je suis d'accord, sauf que on parle de continuité en un point. Or dans le cas de la première image que j'ai envoyé, on a affaire à l'infini ; et dans la deuxième images , c'est le calcul de la limite à droite de 1, et non pas toujours au point 1 . c'est ça que je ne comprends pas.

gebrane · May 2020

J'ai répondu à cette question question 5 , ils ont encore appliqué ce théorème, mais cette fois ci ce n'est pas à l'infini et c'est là que je suis perdu.
Le problème c'est qu'il faut respecter la version du théorème dans votre cours je ne sais pas comment on énonce officiellement le théorème de convergence dominé en classes prépas
Intervertir une intégrale avec une limite infinie ou finie ou une limite à droite ou à gauche, c'est le même théorème c'est la version qui change

Kcg · May 2020

d'accord, j'ai compris .je te remercie.

bisam · May 2020

Dans mon cours ci-joint, tu trouveras au numéro 12.2.2-15 le théorème de convergence dominée, et aux numéros 12.3.1-18 et 12.3.1-19 les théorèmes "d'interversion limite-intégrale" et de "continuité sous l'intégrale" ainsi qu'une remarque entre les deux et les démonstrations de ces deux derniers.

Le tout devrait répondre à toutes tes questions.

Kcg · May 2020

Bonjour @Bisam ; votre cours répond effectivement à toutes mes questions sur le sujet ; vous avez su ressortir ce que bon nombre de livres omettent ou disent de façon implicite, j'ai pu voir les différentes applications de ce théorème et son utilité.
Merci énormément.

side · May 2020

supp

Kcg · May 2020

Bonjour @Side.
Pourquoi dis-tu que la fonction de ton exemple ci-dessus n'est pas continue par morceaux ? Le fait qu'elle n'est pas définie en 1 ne contredit en rien la définition d'une fonction continue par morceaux dans laquelle on met juste l'accent sur l'existence d'une limite à gauche et à droite de 1 ; de plus cette définition n'est-elle pas générale ? Pourquoi admettre cette définition dans certains domaines et dire qu'elle serait fausse dans un autre ?

side · May 2020

supp

bisam · May 2020

@side : Pour éviter cet écueil, j'utilise plusieurs astuces.
Premièrement, je reprends systématiquement les élèves qui utilisent à mauvais escient "intervalle" (voire "intervalle fermé" ou "intervalle borné") pour "segment".
Deuxièmement, je peux du coup distinguer les notions de fonctions continues par morceaux sur un segment et de fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque.
Troisièmement, j'insiste tout particulièrement sur le fait que les propriété énoncées nécessitent des fonctions définies sur des intervalles (ou des produits d'intervalles).

@Kcg : Je n'ai jamais vu de définition des fonctions continues par morceaux sur autre chose que des intervalles mais on pourrait sans doute élargir le cadre. Toujours est-il que si l'on se limite aux intervalles, la fonction proposée par side n'est pas continue par morceaux tout simplement parce qu'elle n'est pas définie sur un intervalle !

Kcg · May 2020

@Bisam , effectivement vous avez raison sur le fait que les fonctions continues par morceaux sont définies sur des intervalles, et celle de @Side ne l'est pas ainsi je comprends que la fonction de @Bisam ne peux être continue par morceaux.

Kcg · May 2020

Bonsoir à tous.
Je me suis encore buté à une question concernant les hypothèses de continuité d'une intégrale à paramètre.
Ma question est la suivante : si on considère l'application $h$ de $A × I$ dans $\R$ et $ f(x,t)= \int_{a}^{b} h(x,t)$ .
-si $h$ est continue par rapport à ses deux variables sur $A × I $
- et si pour tout $x \in A $ l'application qui à $t$ associe $h(x,t)$ est intégrable sur $I$ ;
Peut-on conclure que $f$ est continue ?
NB: ici je ne domine pas $h$ par une fonction intégrable comme dans le théorème de continuité, et je pense que si pour tout x , l'application $h(x,-)$ est intégrable sur $I$ alors c'est équivalent à l'hypothèse de domination. Et donc on peut déduire la continuité de $f$.
Me suis je trompé quelque part ? Besoin d'aide s'il vous plaît. Merci d'avance

side · May 2020

supp

Kcg · May 2020

@side , dans ton exemple, $A$ n'est pas nécessairement égal à 0 d'après mon théorème. car dire que $f(0)=0$ implique que $\lim_{x \to 0} \frac{A}{x}=0$ ce qui ne permet pas de conclure que $A$ est nulle.

side · May 2020

supp

gebrane · May 2020

Si on prend $h=\sqrt x e^{-xt} \quad A=[0,+\infty[,I=]0,+\infty [$?

(j' ai repris l' idée de side que je salue)
Édit faute Latex sur A

side · May 2020

supp

gebrane · May 2020

Side je comprends la question comme : Il donne des hypothèses (sans la domination). Il veut savoir si son f est continu sur A. J ai bricolé un contre avec tes idées avec un f non continu en 0

Édit mon contre est faux
Édit de mon édit mon contre est juste

Kcg · May 2020

effectivement @Gebrane , ton interprétation de mon questionnement est correct. cependant, avec l'exemple que tu exposes, je ne vois pas comment ça contredit le fait que mon application $f$ est continue sous les hypothèses que j'ai donné plus haut.
pour le moment, je pense toujours que c'est hypothèses suffisent pour admettre la continuité de $f$, mais j'aimerais une confirmation ou un contre exemple de cette pensée intuitive qui est mienne.
NB : je suppose que $ f $ est continue sans l'hypothèse de domination , car j'estime et j'ai eu à remarquer dans les démonstrations du théorème de continuité des intégrales à paramètre que l'hypothèse de domination sert uniquement à montrer que$ h$ est intégrable ; ainsi si je remarque que mon application $ h$ est déjà intégrable , pourquoi devrai-je encore me casser la tête à la dominée ??

gebrane · May 2020

Kcg
Dans mon exemple $f(0)=0$ et pour tout x>0, $f(x)=\frac 1{\sqrt x}$, Non?
Ce n'est pas la tète d'une fonction continue en 0

Kcg · May 2020

Ah effectivement @Gebrane , ton contre exemple m'a convaincu.
Merci à vous tous pour cet éclaircissement.

gebrane · May 2020

Ce n'est pas mon contre c'est celui de side $h(x,t)=\varphi(xt)$ , j'ai juste un peu bricolé

Kcg · May 2020

Ah oui, c'est vrai ça. Bienque ça forme originale m'était un peu ambiguë, c'est finalement une autre de ça forme qui m'ait aidé.
Encore merci @side.

[Et en français cela veut dire quoi ? :-S AD]

Théorème de convergence dominée

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