Deux exercices sur la dérivée
Bonjour,
j'éprouve quelques difficultés à trouver des solutions aux deux exercices suivants, dont les énoncés semblent pourtant relativement simple.
Exercice 1. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction dérivable telle que $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)>0$ et $f'(b)>0$. Montrer que \[
\exists c\in\,]a,b[,\quad f(c)=0\quad\text{et}\quad f'(c)\leq 0.
\] Graphiquement, le résultat semble évident. J'arrive à montrer qu'il existe $c\in\,]a,b[$ tel que $f(c)=0$. Ensuite, je pense arriver au résultat avec des arguments de compacité, mais cette approche me parait trop compliquée... Je me demande s'il n'est pas possible d'avoir une solution plus simple (c'est normalement un exercice utilisable en Bac+1).
Exercice 2. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction dérivable telle que $f'(a)=f'(b)$. Montrer que \[
\exists c\in\,]a,b[,\quad f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}.
\] Géométriquement, l'exercice montre qu'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en un point $(c,f(c))$ avec $c\in\,]a,b[$ passant par le point de coordonnée $(a,f(a))$. Je sais faire cette exercice avec des hypothèses un peu plus fortes ($f'(a)=0$ et $f(a)=f(b)$). Il me semble qu'il faut réussir à montrer que la dérivée de la fonction \[
x\longmapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
\] s'annule sur $]a,b[$, ce qui fait penser au théorème de Rolle, mais je reste bloqué...
Je vous remercie pour vos pistes et votre aide!
Édit : J’ai corrigé l’erreur d‘énoncé que vous m’avez signalé.
j'éprouve quelques difficultés à trouver des solutions aux deux exercices suivants, dont les énoncés semblent pourtant relativement simple.
Exercice 1. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction dérivable telle que $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)>0$ et $f'(b)>0$. Montrer que \[
\exists c\in\,]a,b[,\quad f(c)=0\quad\text{et}\quad f'(c)\leq 0.
\] Graphiquement, le résultat semble évident. J'arrive à montrer qu'il existe $c\in\,]a,b[$ tel que $f(c)=0$. Ensuite, je pense arriver au résultat avec des arguments de compacité, mais cette approche me parait trop compliquée... Je me demande s'il n'est pas possible d'avoir une solution plus simple (c'est normalement un exercice utilisable en Bac+1).
Exercice 2. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction dérivable telle que $f'(a)=f'(b)$. Montrer que \[
\exists c\in\,]a,b[,\quad f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}.
\] Géométriquement, l'exercice montre qu'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en un point $(c,f(c))$ avec $c\in\,]a,b[$ passant par le point de coordonnée $(a,f(a))$. Je sais faire cette exercice avec des hypothèses un peu plus fortes ($f'(a)=0$ et $f(a)=f(b)$). Il me semble qu'il faut réussir à montrer que la dérivée de la fonction \[
x\longmapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
\] s'annule sur $]a,b[$, ce qui fait penser au théorème de Rolle, mais je reste bloqué...
Je vous remercie pour vos pistes et votre aide!
Édit : J’ai corrigé l’erreur d‘énoncé que vous m’avez signalé.
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Réponses
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,899050,899069
f(x)=sin(x)+10 sur [0;2pi] on a bien f’(0)>0 et f’(2pi)>0 , f(0)=f(2pi)=10
il n’existe aucun c dans dans [0;2pi] tel que f(c)=0
Il y a une erreur dans l’énoncé, non ?
Pardon pour cette vulgarisation et pour mon vocabulaire non académique (chers lycéens, attention, ce qui suit est très mal dit).
Les hypothèses disent que la courbe est « régulière » et « monte en partant » du point $(a ; f(a))$ puis « arrive en montant » vers le point $(b ; f(b))$.
Ainsi, si c’est « très haut » je ne vois pas pourquoi $f$ s’annulerait quelque part.
Par exemple on prend une sinusoïde restreinte à $[0;2\pi]$ et on ajoute $100$.
En plus clair : $f : x \mapsto \sin (x) +100$.
Alors $f(0)=f(2\pi)$ et $f’(0)=f’(2\pi)=1$ ce qui est bien strictement positif.
Mais il n’existe pas de $c$ tel que $f(c)=0$.
Pardon si quelque chose m’échappe.
Édit : zut, je n’avais pas vu les deux derniers messages.
La correction de gebrane (salut !) est très raisonnable.
L’énoncé 1 de MrJ peut être aussi corrigé en touchant à rien mais de Montrer que $ \exists c\in\,]a,b[,\quad f(c)=f(a)$
J'ai ma petite idée sur la question 2, mais qui commence par on pose ( une fonction qui tombe du ciel)
@etanche : J'ignorais qu'il s'agissait d'un théorème. Il faut que j'étudie encore en détail les preuves. Voici un lien vers l'article de Flett : Théorème de Flett.
@jandri : Je te remercie : c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais essayé.
En fait j'ai cherché g vérifiant
On a $f'(a)=f'(b)$, donc pour que la condition $g'(a)=g'(b)$ soit automatiquement vérifiée, j'ai cherché $g$ égale à $f$ à une droite près : c'est à dire $$g(x)-f(x)=\alpha x+\beta$$
De $g(a)=g(b)=0$, on tombe sur l'expression explicite de $g$ à savoir
$$g(x)=f(x)-f(a)-(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Apres c'est facile,
[size=x-large]*[/size]Si $g'(a)=g'(b)>0$, on utilise l'exercice 1......
edit
[size=x-large]*[/size] Si $g'(a)=g'(b)<0$, on remplace g par -g
[size=x-large]*[/size]Si $g'(a)=g'(b)=0$.... edit
MrJ es-tu d'accord avec mon raisonnement ?
Est ce que quelqu'un peut résoudre l'exercice 2 de MrJ sans passer par l'exercice 1. je sèche complètement !
Pour le 2, étudie la fonction $x\mapsto {f(x)-f(a)\over x-a}.$
Cher YvesM Veux-tu donner les détails de ta vision
Quel etourdissement, J' avais manqué le post de étanche et ton lien.