Inégalité avec une intégrale

Bonjour

J’ai cherché. Je n’ai pas trouvé.

Et vous ?

J'ai trouvé une autre façon de prouver $|g'|\leq \dfrac{1}{6}$. Je reprends les notations de side.

Tout d'abord, on remarque que pour tout $x\in \left]0,1\right[$ :
\[\begin{align} g(x)&=\frac{f(x)}{x(1-x)}\\
&=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}-\frac{f(1)-f(x)}{1-x}\\
&=\frac{1}{x}\int_0^x f'(u)du - \frac{1}{1-x}\int_x^1 f'(v)dv\\
&=\int_0^1 f'(tx)dt - \int_0^1 f'((1-t)x+t)dt\\
&=\int_0^1 \left(f'(tx)-f'((1-t)x+t)\right)dt
\end{align}\]

La formule est encore valable pour $x=0$ et $x=1$.

On peut alors dériver sous le signe intégral pour obtenir ensuite par intégration par parties pour tout $x\in [0,1]$ :
\[\begin{align}g'(x)&=\int_0^1 \left(tf''(tx)-(1-t)f''((1-t)x+t)\right)dt\\
&=\left[\frac{t^2}{2}f''(tx)+\frac{(1-t)^2}{2}f''((1-t)x+t)\right]_0^1-\int_0^1\left(x\frac{t^2}{2}f^{(3)}(tx)+(1-x)\frac{(1-t)^2}{2}f^{(3)}((1-t)x+t)\right)dt\\
&=0-\frac{1}{2}\int_0^1\left(xt^2f^{(3)}(tx)+(1-x)(1-t)^2f^{(3)}((1-t)x+t)\right)dt\end{align}\]

Par conséquent, en utilisant l'inégalité triangulaire et $|f^{(3)}|\leq 1$, on obtient directement pour tout $x\in [0,1]$ :
\[ |g'(x)|\leq \frac{1}{2}\left(x\int_0^1 t^2dt+(1-x)\int_0^1 (1-t)^2dt\right)=\frac{x+(1-x)}{6}=\frac{1}{6}\]

On peut alors conclure comme side l'a fait, pour tout $x\in [0,1]$ \[F'(x)=|g(x)|-6g(x)g'(x)\geq |g(x)|-6|g(x)| |g'(x)|\geq 0\]
Donc $F$ est croissante sur $[0,1]$ et nulle en 0 donc elle est positive, ce qui termine l'exercice.

Il y a égalité pour $f_1(x)=\dfrac{x^2(1-x)}6$ et $f_2=-f_1$.

J'ai repris l'astuce de bisam (à laquelle je n'aurais pas pensé tout seul) mais je n'ai pas fait exactement le même changement de variable pour la deuxième intégrale : au lieu de poser $v=(1-t)x+t$ j'ai posé $v=1+(x-1)t$.
Cela donne $g(x)=\displaystyle\int_0^1 \left(f'(tx)-f'(1+(x-1)t)\right)dt$ d'où $g'(x)=\displaystyle\int_0^1t \left(f''(tx)-f''(1+(x-1)t)\right)dt$.
L'inégalité des accroissements finis donne alors directement $|g'(x)|\leq \displaystyle\int_0^1t(1-t)||f^{(3)}||_{\infty}dt\leq \dfrac16$.