Une suite et son double

bisam · May 2020

Bonjour,

Je vous soumets un exercice tombé aux Mines en MP en 2016 (réf : RMS 127-2 exercice n°564).
Soir $u$ une suite réelle bornée telle que $\left(u_n+\dfrac{u_{2n}}{2}\right)_{n\in\N}$ converge. Montrer que $u$ converge.
J'ai trouvé une solution qui utilise une convergence uniforme de suites de suites et une interversion somme limite mais je me rappelle une autre méthode utilisant les valeurs d'adhérence sans pouvoir la réécrire correctement.

Pourriez-vous m'aider à retrouver cette deuxième méthode ?

side · May 2020

supp

gebrane · May 2020

side (tu)

BobbyJoe · May 2020

Une variation autour de cet exercice où l'utilisation des valeurs d'adhérence n'aide plus

https://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=38532&p=972919#p972919

side · May 2020

supp

bisam · May 2020

Merci side.
C'est beaucoup plus efficace que dans mes souvenirs.

jandri · May 2020

J'ai une démonstration du problème initial sans valeur d'adhérence qui utilise la définition d'une limite avec $\varepsilon$. Je note $v_n=u_n+\dfrac{u_{2n}}2$.
En considérant $u_n-\dfrac {2l}3$ on se ramène au cas $l=0$.
On montre par récurrence sur $p$ que $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\dfrac{(-1)^k}{2^k}v_{2^kn}+\dfrac{(-1)^p}{2^p}u_{2^pn}$.

Soit $n_0$ tel que $|v_n|\leq\varepsilon$ pour $n\geq n_0$ et $M$ un majorant de $|u_n|$.
Pour $n\geq n_0$ : $|u_n|\leq\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\dfrac{\varepsilon}{2^k}+\dfrac{|u_{2^pn}|}{2^p}\leq 2\varepsilon+\dfrac M{2^p}\leq 3\varepsilon$ pour $p\geq p_0$.