Majoration dans $\mathbb{R}$

Lafdili · May 2020

Salut, SVP , je cherche à montrer que
$ \forall x\in\mathbb{R},$ $ \forall y\in\mathbb{R}$, $\mid x\mid < 1$ et $\mid y\mid < 1$ $\Rightarrow $ $\mid\frac{x+y}{1+xy}\mid <1$

gebrane · May 2020

Tu passes au carré dans $|x+y|<|1+xy|$

MrJ · May 2020

La solution de gebrane est plus simple, mais une autre possibilité est d’écrire $x=\tanh(a)$ et $y=\tanh(b)$.

Lafdili · May 2020

J'ai essayé avec le carré, mais je n'arrive pas au résultat !
voilà ce que j'ai fait.
D'une part on a $$
\begin{array}{rcl}
\frac{x+y}{1+xy}+1 & = & \frac{x+y+1+xy}{1+xy}\\
& = & \frac{(x+1)(y+1)}{1+xy}>0
\end{array}
$$ Car, on a $-1<x<1$ et $-1<y<1$, donc $-1<xy<1$ et par suite $0<y+1<2$, $0<x+1<2$ et $0<xy+1<2$. D'autre part on a $$
\begin{array}{rcl}
\frac{x+y}{1+xy}-1 & = & \frac{x+y-1-xy}{1+xy}\\
& = & \frac{(x-1)(1-y)}{1+xy}<0
\end{array}
$$ Car, on a $-1<x<1$ et $-1<-y<1$, donc $-1<xy<1$ et par suite $0<1-y<2$, $-2<x-1<0$ et $0<xy+1<2$. D'où le résultat.

MrJ · May 2020

Si tu élèves au carré, il faut utiliser la même factorisation que dans ta démonstration :
\[|x+y|\leq |1+xy|\quad\Leftrightarrow\quad 0\leq 1-x^2-y^2+x^2y^2\quad\Leftrightarrow\quad 0\leq (1-x^2)(1-y^2).\]

Dom · May 2020

On a une méthode « peu élégante » comme diront certains :

Étudier sur le bon ensemble $x\mapsto \dfrac{x+y}{1+xy}$ de paramètre $y$.
Une dérivation suffit.
Éventuellement on distingue le cas $y=0$.

etanche · May 2020

Avec les indications de Mr.J

Il existe $a,b$ réels tels que $x=\tanh(a),y=\tanh(b)$
$\frac{ \tanh(a)+\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)}=\tanh(a+b)$
puis $|\tanh(u)|<1$