Dérivabilité (mpsi)

marc66 · May 2020

Bonjour
Mon exercice est sûrement très facile, mais je n'arrive pas à faire une démo rigoureuse.

Soit une fonction f dérivable de R dans R, qui tend vers un réel a en +inf et en -inf. Il faut démontrer l'existence d'un réel c tel que f'(c)=0.

Je suis en peu coincé car je ne peux pas appliquer le théorème de Rolle sur R. Il est évident que f admet un extremum sur R mais comment le démontrer ?
Si quelqu'un peut me mettre sur la voie, merci pour votre aide.

Poirot · May 2020

Utilise la définition de la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ pour te ramener à l'utilisation du théorème de Rolle sur un segment.

marc66 · May 2020

Je peux écrire ceci, mais je vois pas trop où aller par la suite, si vous pouvez m'aider un peu plus...

$\forall \epsilon > 0,\exists X>0, \forall x> X\Rightarrow \left | f(x)-a \right |<\epsilon _{1}$
$\forall \epsilon > 0,\exists X'<0, \forall x< X'\Rightarrow \left | f(x)-a \right |<\epsilon _{2}$

Poirot · May 2020

Ok. Choisis ton $\varepsilon$ préféré, et regarde ce que tu obtiens. Tu es d'accord que si tu trouves $x < y$ tels que $f(x)=f(y)$ c'est terminé ? Cherche donc à obtenir ça.

bisam · May 2020

Tu peux utiliser le TVI pour montrer que $f$ prend deux fois la même valeur.

Autre méthode : considérer la fonction :
\[ g:x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \mapsto \left\{
\begin{array}{ll} f(\tan(x)) & \text{si } x\in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[ \\
a & \text{si } x\in \left\{-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\}
\end{array}
\right. \]

Calli · May 2020

Bonjour,
C'est un sujet doublon avec un autre forum. https://forum.prepas.org/viewtopic.php?f=3&t=73722

Amathoué · May 2020

Mais pourquoi ne le ferait-il pas Calli? C'est un moyen comme un autre d'augmenter ses chances de réponse, non?

Calli · May 2020

Je n'ai pas dit que ça n'est pas bien ; j'informe. Visiblement marc66 est content des réponses qu'il a obtenu sur l'autre forum.

Amathoué · May 2020

Ah d’accord, autant pour moi, j’ai mal interprété ton message. Désolé.

Calli · May 2020

Amathoué : je trouve quand même que ça n'est pas ultra respectueux de poser simultanément deux fois la même question sur deux forums. Il peut arriver que des gens aident pour rien car la question est déjà résolue sur l'autre forum mais ils ne le savent pas. C'est pour ça que j'indique le doublon. C'est probablement comme ça que tu as interprété mon message et ça n'est pas complètement erroné. Mais je ne sais pas si mon sentiment est partagé, donc je ne gueule pas ouvertement contre la personne. En revanche, si on a pas obtenu de réponse sur un premier forum dans un délais raisonnable (disons un ou deux jours), on peut en tenter un deuxième ; ça ne me pose aucun problème.

Amathoué · May 2020

Quand j’étais en sup/spe, il m'arrivait de poser la même question au prof et au khôlleur. Cela me permettait parfois d'avoir plusieurs approches d'un même problème, un peu comme on apprend une même notion dans plusieurs livres. N'est-ce pas d'ailleurs ce qu'on suggère souvent à un intervenant bien connu? Et pourtant, j'avais beaucoup de respect pour mes enseignants(et j'en ai toujours!). Bien entendu, ce n’était pas une habitude non plus, mais j'ai pu en tirer quelques bénéfices à l’époque.

marc66 · May 2020

Bonjour à tous,
Oui, mon intention n'était pas du tout de manquer de respect à qui que ce soit, bien au contraire. Je remercie vivement tous ceux qui m'ont apporté une réponse, ils ont ma gratitude.

Cela dit en posant la même question sur deux forum différents, je peux avoir des réponses complémentaires ou des approches différentes, je trouvais plutôt cette façon de faire enrichissante pour moi. Je n'ai pas eu le temps de répondre hier sur ce forum à cause d'un imprévu, mais je comptais le faire dès ce matin.

Merci encore, et je suis désolé d'avoir froissé certains d'entre vous.

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