Question rapide "grand O" (Landau)

Je ne suis pas noix de totos mais je confirme que les $O$ sont utilisés constamment en théorie analytique des nombres.

C'est extrêmement utile dès qu'on veut avoir des informations sur le reste. Compare
$$ \exp x = 1 + x + o(x)$$
avec
$$\exp x = 1 + x + O(x^2).$$

On préfère donc avoir des grands O plutôt que des petits o dès que c'est possible. On retrouve les grands O partout en théorie analytique des nombres par exemple, en EDP, en analyse asymptotique, etc.

Même en faisant des bricolages scolaires avec les développements asymptotiques, il est parfois bien pratique de remplacer un $o(x^n)$ par un $O(x^{n+1})$ pour éviter d'aller chercher le terme en $x^{n+1}$. (Je n'ai pas d'exemple sous la main malheureusement.)

Un exemple "concret" : le TNP (théorème des nombres premiers) équivaut à $\pi(x)\sim\mathrm{Li}(x)$.

Sous RH, on a $\pi(x)=\mathrm{Li}(x)+O(\sqrt{x}\log x)$, et ce terme d'erreur est optimal.

Sylvain m'a devancé, mais c'est exactement ça : le Théorème des Nombres Premiers (TNP) est un bon support pour expliquer clairement cette différence.

(i) Le TNP version faible peut par exemple s'écrire $\pi(x) = \dfrac{x}{\log x} + o \left( \dfrac{x}{\log x} \right)$ lorsque $x \to \infty$.

Cette formule asymptotique est tout à fait correcte, mais presque inutilisable en pratique. Il faut savoir que cesrésultats ne sont pas des fins en soi, ils sont établis pour être ensuite utilisés dans bon nombre de situations. Exemple : estimer $\sum_{p \leqslant x} p^\alpha$. Les outils techniques usuels (sommation partielle, etc) permettent de se ramener au TNP.

Il est alors indispensable de disposer d'un terme d'erreur aussi précis que possible, et l'estimation ci-dessus ne le permet pas.

(ii) En revanche, celle-ci : $\pi(x) = \dfrac{x}{\log x} + O \left( \dfrac{x}{\log^2 x} \right)$ lorsque $x \geqslant x_0$, est tout à fait pertinente. Remarquer aussi "l'extension" de la région de validité entre les deux formules.

Il se trouve que l'enseignement en France de ces égalités asymptotiques, en particulier en CPGE, n'insiste pas suffisamment sur cet aspect des choses. Résultat : on trouve des étudiants n'ayant presque jamais utilisé les grands "O", alors qu'il sont certainement les plus importants en pratique.

Très souvent, pour l'étude la convergence des séries ou celle des intégrales, il est plus efficace d'avoir un $O$.

Exemple : Pour montrer que la suite de terme général $u_n =\frac{n^n \sqrt{n}}{n!e^n}$ converge, on étudie la série $\sum_{n\geq 1} (\ln(u_{n+1})-\ln(u_n))$ et pour cela on effectue un développement limité de $\ln(u_{n+1})-\ln(u_n)$.
Il suffit alors d'écrire que \[\ln(u_{n+1})-\ln(u_n)=\left(n+\frac{1}{2}\right)\ln(1+\frac{1}{n})-1=\left(1+\frac{1}{2n}\right)\times n\times \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)-1=O\left(\frac{1}{n^2}\right)\] pour conclure par comparaison avec une série de Riemann que la série est absolument convergente.

Écrire le DL avec les termes d'ordre est beaucoup plus exigeant en calculs !

Héhéhé a écrit : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2011960,2012000#msg-2012000

Il fut un temps pendant les années 70 et 80 où les textes d'analyse pour maths sup/ Deug A exposaient la théorie des développements limités/asymptotiques avec le grand O. Le livre d'analyse d'Arnaudiès Lelong Ferrand ou celui d'Arnaudiès Frayasse font tout avec le grand O. On commençait avec le reste de Taylor Young pour ensuite virer et rester sur le grand O.

[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]