Intégrale inégalité f’’’

Bonjour,

Tu veux des indications ou une solution ?

Bonjour,

Indications :
- Sans perte de généralité on suppose $f(0)=f(1)=0$ puisque l'inégalité ne dépend que des dérivées de la fonction $f.$
- On note $\displaystyle P_k(x)=x^{k-1}(1-x)^{k-1}$ pour $\displaystyle k\in\N_{\geq 1}.$
- Une intégration par parties donne $\displaystyle I=\int_0^1 P_k(x)f’(x) dx =-\int_0^1 P_k’(x) f(x) dx$ puisque le terme tout intégré est nul, y compris pour $k=1.$
- On astuce avec $\displaystyle {f(x)\over x(1-x)}={f(x)-f(0)\over x-0}-{f(1)-f(x)\over 1-x}={1\over x} \int_0^x f’(t) dt-{1\over 1-x} \int_x^1 f’(t) dt =\\ \displaystyle =\int_0^1 (f’(xt) -f’((1-t)x+t) ) dt .$
- On a $\displaystyle \int_0^1 (f’( x t) -f’((1-t)x+t)) dt =\int_0^1 \int_{(1-t)x+t}^{x t} f”(u) du dt .$
- Comme $P_k(x)=P_k(1-x)$, on a $P_k’(x)=-P_k’(1-x).$
- Par la substitution $x\leadsto 1-x$ et l’addition des deux expressions de l’intégrale, et des changements de variables pour ramener les bornes à $0$ et $1$, on obtient $\displaystyle 2 I =\int_0^1 P_k’(x) x(1-x) \int_0^1 \int_0^1 (1-2x) t (f”(x t+z((1-x)-x t))-f”(t(1-x)+1-t-t(1-2 x)z)) dz dt dx.$
- Il existe un $\alpha$ dans $]0,1[$ tel que la différence des dérivées secondes dans l’expression précédente vaut $\displaystyle (2(1-2x) z t+2 x t+t-1) f^{(3)}(\alpha).$
- La majoration donne un facteur $\displaystyle ||f^{(3)}||_{\infty}.$
- La majoration donne un facteur $\displaystyle \int_0^1 \int_0^1 (1-2x) t (2(1-2x) z t+ 2 x t +t-1) dz dt= \int_0^1 (1-2x)(2t^2-t) dt =(1-2x) {1\over 6}.$ On voit le facteur ${1\over 6}.$
- On calcule $\displaystyle P_k’(x)=(k-1) x^{k-2} (1-x)^{k-2} (1-2x).$
- La majoration donne enfin le facteur $\displaystyle \int_0^1 (k-1) P_k(x) (1-2x)^2 dx =2 (k-1) {k! (k-1)! \over (2k+1)!}$ qui s’obtient en développant le carré et la relation $\displaystyle \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx =B(p,q).$

Voilà !

@YvesM : Piqueur d'astuce (:P)