Fubini et jacobien
dans Analyse
En lien avec mon fil sur mon apprentissage (lent et progressif) de l'homologie, j'essaie de formuler une question claire.
1/ Soit $E$ un espace métrique compact.
2/ Je note $A$ l'ensemble des applications continues par morceaux (ie ensemble de points de discontinuité fini) allant de $E$ dans $\R$. C'est naturellement un espace vectoriel. Pour l'instant je ne dis pas "topologique", je m'en fiche un peu.
3/ On a donc l'espace $A^*$.
4/ Soit $f: (B:=[E^2 \to \R])$ et $\phi\in A^*$.
5/ Je note $Fub(\phi,f)$ l'énoncé : $\phi(x\mapsto (\phi(y\mapsto f(x,y)))) = \phi(y\mapsto (\phi(x\mapsto f(x,y)))) $
6/ Je note $Fubini$ l'ensemble des $\phi\in E^*$ telles que $\forall f \in B: Fub(\phi,f)$
7/ Questions:
7.1/ Précise: en normant $A$ avec $|| \bullet ||_\infty $ a-t-on $Fubini\subset ContinuesDe(A^*)$?
7.2/ (Vague) Y a-t-il un lien avec l'orientation? Version précisée: est-ce que pour les variétés gentilles, mais non orientables, prises pour $E$, $Fubini=\emptyset$
8/ Soit $f\in A$. Je dis que $f$ est $\phi$-Jacobable en $a\in E$ quand il existe un nombre réel $r$ tel que pour tout ouvert $U\ni a$ de $E$, tout réel $m>0$, il existe un ouvert $V\ni a$ de $E$ et $k\in ]r-m,r+m[$ : $\phi(1_V) \times k = \phi(1_{\{f(x) \mid x\in V\}})$. Le nombre $r$ sera appelé $J_a(f)$
9/ $f$ sera dite $\phi$-Jacobable tout court, si elle est Jacobable en tout élément de $E$.
10/ Pour $\sigma \in A$ et $\phi\in A^*$ et $f$ $\phi$-Jacobable, on note $CV(\phi, \sigma,f)$ l'énoncé: $\phi(\sigma) = \phi(x\mapsto J_x(f)\sigma(f(x)))$
11/ Question: quelles relations entretiennent $Fubini$ et les $\phi$ telles que pour toute $f$ injective, continue, qui est $\phi$-Jacobable et $\sigma: CV(\phi, \sigma,f)$
1/ Soit $E$ un espace métrique compact.
2/ Je note $A$ l'ensemble des applications continues par morceaux (ie ensemble de points de discontinuité fini) allant de $E$ dans $\R$. C'est naturellement un espace vectoriel. Pour l'instant je ne dis pas "topologique", je m'en fiche un peu.
3/ On a donc l'espace $A^*$.
4/ Soit $f: (B:=[E^2 \to \R])$ et $\phi\in A^*$.
5/ Je note $Fub(\phi,f)$ l'énoncé : $\phi(x\mapsto (\phi(y\mapsto f(x,y)))) = \phi(y\mapsto (\phi(x\mapsto f(x,y)))) $
6/ Je note $Fubini$ l'ensemble des $\phi\in E^*$ telles que $\forall f \in B: Fub(\phi,f)$
7/ Questions:
7.1/ Précise: en normant $A$ avec $|| \bullet ||_\infty $ a-t-on $Fubini\subset ContinuesDe(A^*)$?
7.2/ (Vague) Y a-t-il un lien avec l'orientation? Version précisée: est-ce que pour les variétés gentilles, mais non orientables, prises pour $E$, $Fubini=\emptyset$
8/ Soit $f\in A$. Je dis que $f$ est $\phi$-Jacobable en $a\in E$ quand il existe un nombre réel $r$ tel que pour tout ouvert $U\ni a$ de $E$, tout réel $m>0$, il existe un ouvert $V\ni a$ de $E$ et $k\in ]r-m,r+m[$ : $\phi(1_V) \times k = \phi(1_{\{f(x) \mid x\in V\}})$. Le nombre $r$ sera appelé $J_a(f)$
9/ $f$ sera dite $\phi$-Jacobable tout court, si elle est Jacobable en tout élément de $E$.
10/ Pour $\sigma \in A$ et $\phi\in A^*$ et $f$ $\phi$-Jacobable, on note $CV(\phi, \sigma,f)$ l'énoncé: $\phi(\sigma) = \phi(x\mapsto J_x(f)\sigma(f(x)))$
11/ Question: quelles relations entretiennent $Fubini$ et les $\phi$ telles que pour toute $f$ injective, continue, qui est $\phi$-Jacobable et $\sigma: CV(\phi, \sigma,f)$
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Ton machin est illisible. $A$ est l'ensemble de fonctions avec un nombre fini de points de discontinuité. Mais pourquoi ses éléments seraient ils des fonctions bornées ? Ensuite $A^*$ est-il le dual algébrique ? Après ça je n'y comprends goutte, des phrases seraient bien venues plutôt que le style Principia Mathematica.
-
Je donnerai les précisions, si possible dans la journée. Mais il se peut que j'abandonne car c'est une "embardée" dans un but plus global qui est de capter la notion d'orientation.
Enfin non, tu me diras, la relation Fubini-orientation m'intéresse beaucoup, indépendamment de tout le reste. Par exemple le Ruban de Mobius vérifie-t-il Fubini pour des mesures (ie des formes linéaires sur des parties de $C^0(Ruban,\R)$) raisonnables?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si on se borne au cas de $\R$, $GL_n(\R)$ a deux composantes connexes. Ce sont d'ailleurs les "mêmes que celles de $O_n(\R)$" (groupe orthogonal) au sens où, si $S^{++}_n (\R)$ désigne l'ensemble (convexe) des matrices symétriques définies positives, alors l'application qui à $(A,B) \in S_n^{++} (\R) \times O_n(\R)$ fait correspondre $AB$, est un homéomorphisme.christophe c a écrit:Je donnerai les précisions, si possible dans la journée. Mais il se peut que j'abandonne car c'est une "embardée" dans un but plus global qui est de capter la notion d'orientation.
Ces composantes connexes sont discriminées par le signe du déterminant. Autrement dit étant données $B:=(e_1,...,e_n)$ et $B'=:(e'_1,...,e'_n)$ deux bases de $\R^n$, $B$ et $B'$ ont même orientation si et seulement si on peut passer de l'une à l'autre continûment en restant une base, i.e. il existe des applications continues $\gamma_1,...,\gamma_n$ de $[0,1]$ dans $\R^n$ telles que pour tout $i$, $\gamma_i(0)=e_i$ et $\gamma_i(1)=e'_i$. Dans le cas contraire les vecteurs $\gamma_i(t)$ seront colinéaires à un moment où à un autre.
Lorsque $B$ et $B'$ sont de surcroît orthogonales, le chemin continu peut être pris à valeurs dans les bases orthogonales.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci beaucoup foys. Mais je savais tout ça, et c'est même la raison pour laquelle quand j'ai tenté ma première définition artisanale d'orientation, j'ai été obligé de promener un ouvert numéroté tout entier dans l'espace et non un ensemble fini, ne pouvant, dans un espace topologique générale représenter l'idée de passage interdit par des sous-volume nuls (c'est inutile dans IR^n puisque la liaison des vecteurs indique un sous-volume nul).
Mais il y a d'autres aspects aussi (le fait que le corps peut être changé (comme l'a expliqué max), le fait que wikipedia donne une définition de l'orientation indépendante de tout, pour un espace topologique générale (ce qui contredit un peu max, puisqu'il n'y a plus le paramètre du corps), etc
Globalement c'est une notion intéressante et probablement multiforme. Comme on n'a pas de topologie canonique à mettre sur $C^0(A,B)$ quand on a deux espaces topologiques, on ne peut pas vraiment utiliser "la définition idéale" (une orientation est une composante connexe dans le sous-espace de $C^0(A,A)$ composé des homéomorphismes).
Mais si on parle d'espaces uniformes, on peut tout de même raisonnablement me semble-t-il considérer que la topologie qui s'impose alors à $C^0(A,A)$ dans ce contexte, c'est la "norme" ( $||\bullet ||_\infty $ (remixé à la srtucture uniforme, ça s'appelle pas norme évidemment))
Sinon, on est réduit à parler "d'une notion d'orientation par topologie".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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