Une formule pour $\pi$
Réponses
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J’ose dire qu’avec le symbole « environ », ce qui est écrit ne souffre d’aucun problème de démonstration.
J’utilise le théorème bien connu :
$$\forall a \in \mathbb R,\ \forall b \in \mathbb R ,\ a\approx b$$
Mais en fait le membre de droite n’est pas défini à cause de ce « $-$ » donc ce qui est écrit est faux. -
Voici une image d'un calcul Scilab pour ceux qui ont un doute.
Quant à l'énoncé de ce que j'aimerais démontrer, on pourrait, par exemple, remplacer le symbole environ par la différence avec inférieur à $10^{-5}$ par exemple. -
Je suis en train de chercher une suite qui convergerait vers $\pi$. Restera plus qu'à démontrer la convergence et l'erreur commise...
Voici une image Scilab qui m'ont mise sur cette voie: -
On pourrait peut-être utiliser la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par \[
\forall n\in\N,\quad u_n=\sin\left(\dfrac{\pi}{3\times 2^n}\right),
\] et utiliser les mêmes idées que pour établir les formules de [large]V[/large]iète.
[François Viète (1540-1603) prend toujours une majuscule. AD]
@AD : Satané correcteur orthographique. ;-) -
Bonjour Gambitro.
Soit le - qui apparaît dans le calcul n'est pas un symbole de changement de signe; et il faudra nous dire ce que c'est.
Soit ton Scilab est vérolé, et calcule faux.
D’ailleurs, l'expression que tu as écrite ne peut pas s'approcher de $\pi$, la succession de racines carrées reste supérieure à 1, et on obtient environ $\pm 4344,462926 i$ avec le signe - et $\pm 4344,462926$ sans.
Vérifie que tu n'as pas un virus qui affecte scilab, puis réinstalle un logiciel qui calcule correctement.
Cordialement. -
Attention à bien remarquer le $+2$ qui est sous la première racine carrée à la fin (mais je n’ai pas vérifié à l’ordinateur).
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Ah, effectivement,
je l'avais raté. Donc pas de souci, et on se retrouve avec une formule connue depuis des siècles, écrite généralement avec des $2+..$ plutôt que des $..+2$.
Cordialement. -
Le « - » n’est donc une notation que pour des pointillés ?
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Dom est fatigué aujourd’hui :-D
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J’avoue ne rien comprendre au fil.
Tu as raison. -
En fait, la formule est
$3072\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2 +\cdots+\sqrt{2+\sqrt 3}}}}$
Cordialement. -
Ah bah tiens c'est rigolo, je suis l'auteur de cette figure! En fait la formule a été générée automatiquement avec la librairie SymPy de calcul formel de python, d'où la syntaxe bizarre avec le $+2$ à la fin.
Il s'agit de la formule que l'on trouve lorsque l'on approche $\pi$ en calculant le périmètre du 6144-gone régulier inscrit dans le cercle de rayon 1. Les détails (et le code) sont disponibles ici : Lien (voir l'exercice 3). -
Merci Gérard !!!
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Au fait, pour répondre au message initial : pour deviner la formule et se convaincre qu'elle est correcte on n'a besoin que de Pythagore. Il y a juste un peu d'analyse pour démontrer la convergence vers $\pi$.
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Bonjour!
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