Limite $\cos^{\circ\,n}\to$ constante, pour tout $x$ ?
Bonjour
Je viens de trouver quelque chose d'assez intéressant (pour ma part je trouve). Lorsque je compose la fonction cosinus par elle-même un bon nombre de fois, par exemple pour 3 compositions on a cos(cos(cos(cos(x)))), et en répétant le processus, la fonction semble tendre vers une constante et ce pour tout x réel initial. La constante en question est 0.7390851332151607... La valeur de celle-ci (pour le nombre de décimales donné) se répète à partir d'environ 90-100 compositions sur Python.
Ci-dessous la fonction Python donnant la liste des valeurs suivant le nombre de compositions. Vous pouvez aussi utiliser un graphique pour voir que l'allure de la fonction s'assimile à une droite en itérant le procédé. Voici donc le petit programme tout mignon.
Il en va de même pour une composition de la forme cos(sin(cos(sin(...)...))) qui tend vers une constante différente selon que la dernière composition est un sinus ou cosinus. En revanche cela ne marche pas pour la composition de la forme sin(sin(sin(...)...)).
Je suis donc ouvert à tout type d'idée !!
Merci d'avance.
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Je viens de trouver quelque chose d'assez intéressant (pour ma part je trouve). Lorsque je compose la fonction cosinus par elle-même un bon nombre de fois, par exemple pour 3 compositions on a cos(cos(cos(cos(x)))), et en répétant le processus, la fonction semble tendre vers une constante et ce pour tout x réel initial. La constante en question est 0.7390851332151607... La valeur de celle-ci (pour le nombre de décimales donné) se répète à partir d'environ 90-100 compositions sur Python.
Ci-dessous la fonction Python donnant la liste des valeurs suivant le nombre de compositions. Vous pouvez aussi utiliser un graphique pour voir que l'allure de la fonction s'assimile à une droite en itérant le procédé. Voici donc le petit programme tout mignon.
def compo_cos(n): i=0 x=45698.12345797 liste=[] while i!=n: x=cos(x) liste.append(x) i=i+1 return(liste) print(compo_cos(100))La valeur de x est ici 45698.12345797 (par exemple) mais en changeant sa valeur, la suite tend toujours vers cette même constante, seul change le nombre de compositions nécessaires pour y parvenir plus rapidement ou non.
Il en va de même pour une composition de la forme cos(sin(cos(sin(...)...))) qui tend vers une constante différente selon que la dernière composition est un sinus ou cosinus. En revanche cela ne marche pas pour la composition de la forme sin(sin(sin(...)...)).
Je suis donc ouvert à tout type d'idée !!
Merci d'avance.
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Réponses
Si on note $\ell = 0.7390851332151607...$ la constante que tu as trouvée, est-ce que tu as essayé de calculer $\cos(\ell)$ ?
Quand ça converge vers $L=\cos(L)$ avec $L \sim 0.7390851332....$
Oui je viens donc de faire ce que tu m'as dit, et on trouve bien (enfin rien n'est prouvé mais voilà) que cos(L)=L, avec L la constante en question, ce qui signifie que L est un point fixe de la fonction cosinus (je ne savais même pas qu'elle en possédait). Cela ouvre un autre problème. Je suis encore ouvert à toute idée ! Je sais que ce n'est pas dans l'optique de ce forum de donner les réponses directement mais là je doute de mon niveau en mathématiques pour arriver à une réponse concrète s'il en existe une.
As-tu essayé avec une valeur de départ complexe ?
Bon dimanche.
Ça marche aussi avec une calculatrice, on appuie sur cos, cos,... jusqu'à ce que le nombre affiché reste le même, à condition qu'elle soit positionnée en radians. Maintenant il faut prouver ça, et ça dépend du niveau du questionneur. Ce sont de belles mathématiques expérimentales.
N’est-ce pas plutôt $\approx$, qu’il faudrait utiliser, Chaurien ?
Oui je crois que c'est ça ! Je viens de trouver une propriété qui correspond: Soit f : E-->E une fonction continue, et (Un) une suite récurrente définie par Uo appartenant à E et Un+1=f(Un). Alors si (Un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f.
Il reste seulement à prouver que la suite Un converge.
Merci de ta réponse.
1. De quel bouquin de Rouvière s'agit-il ?
2. Pour dire « à peu près égal à », j'utilise depuis toujours $ \simeq$. Maintenant il paraît qu'il y a aussi $\approx$, mais je n'ai pas d'information à ce sujet.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.
Tu as bien identifié le problème. Ce genre de problème se traite en prépa première année, peut-être en Terminale, je ne sais.
Pour ta suite $u_{n+1}=\cos u_n$, avec $u_0$ réel quelconque, on a nécessairement $u_1 \in [-1,1]$ et $u_2 \in [0,1]$, et à partir de là ça va tout seul. Le nombre d'itérations, de « compositions » comme tu dis, n'est de toutes façons pas très grand, et ne change pas beaucoup d'un $u_0$ l'autre.
Quand tu dis que « cela ne marche pas » pour l'itération du sinus, c'est que tu tires une conclusion hâtive de ton expérimentation. En fait ça marche, mais pour arriver à la limite il faut beaucoup, beaucoup plus d'itérations. Puisque tu disposes d'un langage de programmation puissant, essaie avec un très grand nombre d'itérations, et tu verras qu'il y a aussi une limite, et quelle est cette limite, qui est évidente en fait.
Et c'est une très bonne idée d'alterner $\sin$ et $\cos$.
On peut expliquer tout ça, mais j'itère le rappel : dis-nous à quel niveau tu te places.
Bravo pour ton sens mathématique. Bonne soirée.
Fr. Ch.
C’est ici : Petit guide du calcul différentiel
J’avoue ne pas comprendre le titre de ce bel ouvrage.
Ni même d’ailleurs l’objectif car on y trouve une mine de petits exercices avec multitude de remarques riches et variées.
Mais c’est un excellent bouquin.
Là c’est l’exercice 51 qui traite de cet exemple.
Pour le sinus je crois qu’on a la vitesse de convergence dans ce même bouquin, exercice 52.
Pour le « environ » j’utilisais « ton » symbole jusqu’à l’université où l’on m’avait convaincu (comment ? je ne sais plus) que c’était la double vague qui était conseillée (je prends des gants, du coup).
Avec un point de départ complexe c'est une tout autre affaire. Il me semble que la fonction cosinus a toute une famille dénombrable de points fixes complexes non réels. Pour le sinus j'en suis certain mais pour le cosinus je n'ai pas terminé le calcul, qui est assez similaire. Il suffit de les chercher avec $\mathop{\mathrm{Im}}z>0$. Mais même quand j'aurai ces points fixes, j'ignorerai s'ils sont attractifs. Il me faudrait des moyens de calcul que je n'ai pas pour faire des conjectures. C'est en tout cas une très belle question.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Même l’appellation PGCD pour ce bouquin je ne l’ai jamais entendue.
Plein de connaissances dont un préparateur à l’agreg interne disent « Le Rouvière ».
Son approche expérimentale est intéressante, notamment sa réaction concernant l'itération du sinus, qui conclut naïvement « cela ne marche pas ». J'ai essayé de lui donner une indication sans tout lui dire, mais il semble se désintéresser de la question.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Moi j'utilise le premier depuis toujours et j'envisage de continuer.
J'ai l'impression que le deuxième est en vigueur chez les Anglo-Saxons.
Le troisième est celui que je trouve dans Word.
Il me semble qu'autrefois on utilisait aussi $\#$, présent sur les claviers AZERTY et QWERTY.
J'ai cherché les codes ASCII, mais en vain.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Puisque qu'on parle d'alterner cos et sup, voici une généralisation gentillette: soit $f_k\in \{\cos,\sin\}$. Montrer que $f_1\circ\cdots\circ f_n$ converge uniformément sur $\R$ vers une constante.
Chez les complexes irréels, je trouve un point fixe du côté de $1,077259304338 + 0,85338385632 \; i$.
Un tracé avec geogebra suggère un point fixe du côté de $-2,37 - 4,2 \; i$. Mais c'est une vraie savonnette numérique.
Aah, Remarque et ses graphiques multicolores nous manque. Il nous aurait déterré une mégachiée de points fixes en moins de temps qu'il ne faut pour étrangler un algébriste.
e.v.
Merci beaucoup pour toutes vos indications ! Je suis en L1 Physique donc j'ai des cours d'analyse de première année. Je ne me suis pas excessivement plongé dans la résolution du problème car j'ai d'autres choses plus importantes à faire en ce moment. Je m'y remettrai dès que possible en sachant je pense, que ce dernier est tout à fait accessible à mon niveau.
Bien cordialement.
Incroyable, tu as réussi à généraliser pour toute fonction trigonométrique, c'est génial !
Par contre, de loin, comme ça, ça ne doit pas être le cas pour :
$f_n \circ \dots \circ f_1$
Je trouve comme point fixe
$-2,486885698908403 + 1,0893613412951153 i$. C'est le point $E$ de la figure.
Je n'arrive pas, maladroit que je suis, à obtenir le point $G$.
Bien entendu, ce message annule mes précédents.
amicalement,
e.v.
$\bullet $ Mais voici qu'apparaît l'équation $\cos z=z$, dont il faut trouver les solutions complexes non réelles. C'est la plus embêtante 8-).
Il suffit bien sûr de trouver les solutions avec $\mathop{\mathrm{Im}}z>0$, les autres seront leurs conjuguées.
Je ne vois d'autre angle d'attaque que d'écrire : $\cos(x+iy)=x+iy, x \in \mathbb R, y \in \mathbb R, y>0$.
Il vient : $\cos x \cosh y=x, \sin x \sinh y =-y$ avec la condition $y>0$.
On peut déjà localiser les éventuelles solutions pour $x$. Les solutions $x>0$ sont dans les intervalles : $ I_n= ]\frac{3\pi }{2}+2n\pi, 2\pi +2n\pi[ $, $ n \in \mathbb{N}$, et les solutions $x<0$ sont dans les intervalles : $J_n= ]-\pi -2n\pi, -\frac{\pi }{2}-2n\pi[ $, $n\in \mathbb{N}$.
En éliminant $y$, on voit que $x$ est solution de l'équation $f(x)=0$, où : $f(x)=\arg \cosh (\frac{x}{\cos x})+\sin x\sqrt{(\frac{x}{\cos x})^{2}-1}$.
La dérivée de cette fonction est pénible à obtenir sans logiciel de calcul formel, mais après force calculs émaillés d'erreurs plus ou moins corrigées, je trouve :
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f^{~\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{\cos x})^{2}-1}}\cdot \frac{1}{\cos ^{3}x}[(x^{2}-\cos ^{2}x)\cos ^{2}x+(\cos x+x\sin x)^{2}]$,
qui est du signe de $\cos x$, donc du signe de $x$, strictement positive sur chaque $I_n$ et strictement négative sur chaque $J_n$.
Il y a donc une solution au plus sur chacun de ces intervalles, probablement exactement une, il me faut terminer l'étude aux bornes.
Ensuite, $y$ s'exprime sans mal en fonction de $x$, et de plusieurs manières.
J'ai mis du temps pour faire tous ces calculs rasoirs, d'où un retard dans le postage, et je ne suis pas même sûr qu'ils soient sans erreurs.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
25/05/2020
Je n'ai pas trouvé de couille dans le portage. Geogebra valide ton calcul de dérivée.
Il trace la fonction $f$ en vert et sa dérivée en marron.
Dans le graphique plus haut, la courbe $\cos x \cosh y=x$ est en rouge et $\sin x \sinh y =-y$ en bleu.
Bonne journée.
e.v.
[ Par le schtroumpf de la schtroumpfette ! J'ai oublié le graphique ! ]
Orthoschtroumpf corrigée sur requête légitime.
Soit $f(x)=\cos x$ pour $x \in \mathbb R$. La fonction $x \mapsto g(x)=f(x)-x$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$, et strictement décroissante, et de plus $g(0)=1>0$ et $g(1)= \cos 1 -1<0$. Il existe donc un seul $x \in \mathbb R$ tel que $g(x)=0$, autrement dit $f(x)=x$. Soit $\alpha $ ce réel tel que $f(\alpha)= \alpha $. C'est l'unique point fixe de la fonction $f$, qui vérifie : $0< \alpha <1 $. On a vu plus haut que $\alpha \simeq 0,7390851332$.
Soit une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ définie par $u_0 \in \mathbb R$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+1}=f(u_n)$.
On m'a dit récemment qu'il faudrait d'abord prouver qu'une telle suite existe et qu'elle est unique, mais je préfère en rigoler.
On a nécessairement $u_1 \in [-1,1]$, $u_2 \in [0,1]$, et pour tout $n \ge 2$, $u_n \in [0,1]$.
On peut visualiser ceci sur la calculatrice et aussi avec une représentation graphique.
On a $f'(x)=-\sin x$, ce qui implique, pour tout $x \in [0,1]$ : $- \sin1 \le f'(x) \le 0$, et donc pour tout $x \in [0,1]$ et tout $y \in [0,1]$ : $|f(x)-f(y)| \le \lambda |x-y|$, avec $\lambda = \sin 1$ (théorème ou inégalité des accroissements finis), d'où : $\lambda \in ]0,1[$. On peut préciser : $\lambda \simeq 0,84147$.
On en déduit, pour tout $n \ge 2$ : $|u_{n+1} - \alpha| =|f(u_n)-f( \alpha)| \le \lambda |u_n - \alpha| $.
Et par une récurrence immédiate, pour tout $n \ge 2$ : $|u_{n} - \alpha| \le \lambda ^{n-2} |u_2 - \alpha| $.
Ceci prouve que la suite $u_n$ a pour limite $\alpha$, avec la vitesse de convergence d'une suite géométrique, ce qui explique pourquoi un nombre peu élevé d'itérations donne déjà plusieurs chiffres corrects de la limite.
La fonction $f$ étant strictement décroissante sur $[0,1]$, on peut même préciser que les suites $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ sont adjacentes pour $n \ge1$, ce qui se voit sur la calculatrice, et sur le graphe on observe une convergence en escargot cubiste (pour ainsi dire) et non en escalier.
On peut aussi démontrer que si $u_1 \notin \{- \alpha, \alpha \}$, alors il existe une constante $C>0$ telle que : $|u_{n} - \alpha| \sim C ~|f'(\alpha)|^n$ quand $n \rightarrow \infty$. Noter que $|f'(\alpha)| = \sin \alpha = \sqrt {1- \alpha ^2 } \simeq 0,67361$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
27/05/2020
Puis-je proposer un truc élémentaire ?
On démontre par étude de fonction qu’il existe $a$ dans $]0,1[$ tel que $\cos a=a.$
On forme la quantité $u_{n+1}-a=\cos u_n-\cos a$ puis on majore en valeur absolue par le double d’un produit de sinus de la demi-somme et de la demi-différence. Comme $|u_n|\leq 1$ on a $|u_{n+1}-a|\leq |u_n-a| {1+a\over 2}$. Donc ça tend vers $0$ à l’infini. La suite converge vers $a.$
Soit une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb N}$ définie par $u_0 \in \mathbb R$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+1}=f(u_n)$. On a nécessairement $u_1 \in [-1,1]$, alors trois cas : $u_1 \in [-1,0[$, ou $u_1 =0$, ou $u_1 \in ]0,1]$. Le deuxième cas est trivial, le premier se ramène au troisième par $u_0:=-u_0$.
Supposons donc $u_1 \in ]0,1]$, alors pour tout $n \ge 1$, $u_n \in ]0,1]$ car la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0,1]$ et $f(1)<1$. Comme $f(x)<x$ pour $x>0$, on a : $u_{n+1}=f(u_n)<u_n$. La suite $u_n$ est décroissante pour $n \ge 1$, donc convergente, et forcément vers $0$.
Mais l'expérimentation sur calculatrice ne fait pas apparaître facilement cette limite car la convergence est très lente, contrairement à ce qui se passait pour le cosinus. Pourquoi ? Pour le cosinus la valeur absolue de la dérivée au point fixe était plus petite que $1 $ strictement, alors que pour le sinus cette dérivée est égale à $1$, et c'est ce qui explique cette convergence bien plus lente. L'équivalent de $u_n$ quand $n \rightarrow + \infty $ n'est plus géométrique , c'est $u_n \sim \sqrt {\frac 3n}$. Pour arriver ne serait-ce qu'à $\frac 1{100}$, il en faudra, des termes ! Mais avec les moyens modernes de calcul, ce n'est pas pour nous faire peur.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
27/05/2020
J'ai mis à jour la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Dottie qui parle de cette constante.
Que raconte Rouvière dans son PGCD page 160 ?