Valeurs d’adhérence suite
Réponses
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Si tu enlèves le 2020 ta suite converge vers le point fixe x=cos(x) car le cosinus est une contraction sur ton intervalle.
Avec 2020 je ne sais pas pour le moment ( le but est de faire un up pour ta question :-D)Le 😄 Farceur -
A mon avis @etanche a créé cet exercice. Comme le dit @gebrane, le cas de l'itération de $f_{1}(x)=\cos x$ ne pose pas problème et il y a convergence. Je pense que l'édute des itérations de $f_{2020}$ est trop prématuré. Il vaudrait mieux essayer d'étudier $f_a$ pour $a>1$ en montant progressivement cette valeur. Quelques simulations suggèrent qu'il se passe déjà beaucoup de choses pour $a \in [1,2]$... que je ne sais pas prouver. Ce soir je proposerai des graphiques. A mon avis il faut dessiner le graphe de bifurcation de $a \mapsto f_a$ pour y voir plus clair. Dans tous les cas c'est difficile de donner des preuves lorsque le comportement attendu est compliqué.
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Oui le 2020 de etanche est fantaisiste. J'aime bien la formulation de
Mickaël avec son $f_a$, $a>0$
Le cas $a\leq 1$ est trivial ( convergence vers le point fixe)
Je m’intéresse en particulier au cas $a=2$ et une condition initiale égale à 2Le 😄 Farceur -
2020 fantaisiste pas du tout , 2020 peut s’écrire 41 fois la somme de deux premiers et 41 est aussi premier .
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Il se passe des choses intéressantes pour $a<\pi$, ainsi que pour a=22, a=355 (entre autres).
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JLT : Tes 22 et 355 me font penser aux numérateurs des réduites de la fraction continue donnant $\pi$. On peut conjecturer que si $a$ est l'un de ses numérateurs alors la suite converge.
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Sans blague Poirot; j'ai cru que tu taquinais JLT
c'est qui cette chose 104348 ?Le 😄 Farceur -
C'est le numérateur de $\frac{104348}{33215}$ pardi. ;-)
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Mh intéressant merciLe 😄 Farceur
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Le problème, c'est que les erreurs d'arrondis lors des "modulo $2\pi$" s'accumulent très vite et font diverger les simulations numériques.
Il va vite falloir user de l'argument théorique avant de se retrouver en shtam
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Je ne comprends pas pourquoi GLT et bissam ne se soucient pas de la donnée initiale !
Par exemple je démontre dans le cas $a=2$ que la suite définie par $x_0\in[-\pi,\pi]$ et $x_{n+1}=f_a(x_n)$ converge vers le point fixe de $f_a$
Preuve ( j'ai pris le cas simple $a=2$ car dans ce cas
$f_a$ admet un seul point fixe que je note $x^*$
En étudiant le signe de $g_a(x):=f_a(x)-x$, on voit que $g_a\ge 0$ sur $[-\pi, x^*]$ et $g_a\le 0$ sur $[ x^*, \pi]$. On voit aussi que les deux segments $[-\pi, x^*]$ et $[ x^*, \pi]$ sont stables par $f_a$
résume
si $x_0\in [-\pi, x^*]$, alors la suite $(x_n)$ est croissante par positivité de $g_a$ et bornée donc convergente vers le point fixe de $f_a$
si $x_0\in [ x^*, \pi]$, alors la suite $(x_n)$ est décroissante et bornée donc convergente vers le point fixe $f_a$
si $x_0\notin[-\pi,\pi]$, je ne vois pas d'intervalles de stabilité de $f_a$
si $a>\pi$ la fonction $f_a$ admet plusieurs points fixes et je passe la main :-DLe 😄 Farceur -
À vérifier : si a=22 ou 355, il existe un point fixe attractif. Si a=2020 tous les points fixes sont répulsifs.
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Voici quelques figures. Je suis certain que tu t'es trompé gebrane. Tes intervalles ne doivent pas être stables. En fait dans le cas $a=2$ on conjecture plutôt que l'ensemble des valeurs d'adhérence est une union de deux intervalles fermés.
Je crois que ces questions sont en fait vraiment difficiles ...
Légende : la figure appelée "Z" c'est $a=1.3$, on voit que la suite converge. Toutes ces simulations sont pour 100 itérations, partant de 0. -
Mickaël
bonjour,
bon il y a erreur . Merci mon ange gardienLe 😄 Farceur -
Oui c'était sans logiciel. Voici mon idée. On cherche un point fixe attractif $x$ de $f_a$. On a donc $x=a\cos x$ et $|\sin x|<1/a$, donc $\cos x$ est proche de $\pm 1$, disons $x=n\pi+\epsilon$ avec $\epsilon=O(1/a)$. On a alors $n\pi+\epsilon =(-1)^na \cos\epsilon$.
Si $a$ tend vers l'infini, alors $\epsilon/n = O(\frac{1}{an})=O(\frac{1}{a^2})$ donc $\pi=(-1)^n\frac{a}{n}+O(\frac{1}{a^2})$.
De telles bonnes approximations rationnelles de $\pi$ s'obtiennent en regardant le développement en fractions continues, d'où ma conjecture. -
En abscisse c'est la valeur de $a$, puis en ordonnée tu places les points $x_n(a):=f_a^{\circ n} (0)$ mais uniquement pour $n$ grand (j'ai pris $n \in [1000,1100]$). Du coup quand la suite converge on a "presque un point". C'est comme ça que l'on peut voir que la suite converge pour $a\in [1, \alpha_1[$, ensuite il y a deux valeurs d'adhérence, etc.
@JLT merci, je me doutais qu'il y avait une "conjecture" possible, c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais en tête. Cela dit je ne sais pas si on peut démontrer quoi que ce soit facilement. Pour les petits $a$ on pourra probablement s'en sortir avec des arguments élémentaires taupinaux. Mais ensuite c'est le chaos, au sens propre. Et je ne sais pas faire. -
Merci Mickaël pour les dessins.
ça me chagrine qu'on ne puisse pas traiter au moins le cas a=2 rigoureusement.
En fouillant, il semble que c'est un problème sérieux. Sur ME , il y a la même remarque que les valeurs adhérence est une réunion de deux segments par l'auteur de la question https://math.stackexchange.com/questions/3695118/limit-points-of-x-n1-2-cosx-nLe 😄 Farceur -
La suite a l'air de converger lorsque a est un réel approchant $n\pi$ avec une erreur de l'ordre de 1/n (n étant entier).
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L’introduction des réduites de fractions continues pour $\pi$ est intéressante
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Est-ce qu'on a des exemples simples de suites $x_{n+1}=f(x_n)$ dont on sait montrer qu'elle est dense dans un intervalle ?
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x->x+a mod 1
Si tu veux du continue, un grand classique est x->4x(1-x) sur [0,1], ou encore la fonction tente.
Pour étre plus proche du probleme, je pense que x-> pi sin(x) sur [0,pi] marche aussi, et donc x-> pi cos(x) sur [-pi/2,pi/2] également (car je crois bien que toutes ces fonctions sont topologiquement conjuguées) -
Trois représentations des 150 premiers termes de la suite définie par $u_0=7/32$ et $u_{n+1}=4u_n(1-u_n)$ : les points $(n,u_n)$ ; les points $\exp(2\mathrm{i}\pi n)$ ; les points $(u_{n-1},u_n)$.
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Dommage que Namiswan que je salue a donné des exemples sans références.
Pour la suite logistique $$x_{n+1}=f_a(x_n),\quad 0<a\le 4 \text{ et } f_a(x)=ax(1-x)$$ la littérature est abondante, je cite ce merveilleux document Daniel en fichier joint
Namiswan as-tu une référence concernant $f_a(x)=a\cos(x)$ pour $a=\pi$ ?
Mickaël peux-tu expliquer la ressemblance de ton dessin dans le cas a=2 de notre exemple du fil et le dessin de la suite logistique
cas a=4 https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/systemes_dynamiques/cours_chaos.pdf page 28Le 😄 Farceur -
Pour ceux qui ne connaissent pas l'astuce, l'étude théorique de la suite $u_{n+1}=4u_n(1-u_n)$ se fait facilement en remarquant qu'en posant $u_0=\sin^2(\pi \theta)$ on a $u_n=\sin^2(2^n\pi \theta)$, de sorte que le comportement de la suite est dicté par la suite $2^n\theta$ modulo 1, et donc par le développement binaire de $\theta$. On peut ainsi obtenir toute sorte de comportement possibile selon $\theta$. Par exemple,$(u_n)$ est dense dans [0,1] si et seulement si le développement binaire de $\theta$ contient toutes les suites finies de {0,1}.
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Namiswan tu n'as pas répondu à ma question :-)Le 😄 Farceur
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supp
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Désolé, message croisé.
Je ne suis pas doué pour les références, et c'est plutôt des bribes de souvenirs qu'il faut peut être pas prendre au pied de la lettre.
Toutes ces familles de fonctions font parties des familles de fonctions dites unimodales, pour les quelles on a toujours le même type de comportement : plus le paramètre augmente, plus le comportement de la suite se complique jusqu'à devenir en un certain sens "chaotique" à partir d'un certain paramètre, avec en particulier des périodes à tout ordre et des orbites denses.
Voici un lien par exemple que je viens de trouver, mais peut être que d'autres auront de meilleures références. https://vd.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_vd/VDS_Mathematics/Minicourse_Anusic_neu.pdf
La remarque 2.2 semble confirmer ce que je disais, même si il n'y a pas l'air d'avoir de preuves...
Side : j'imagine que tu veux me faire comprendre que j'ai oublié le carré dans le changement de variables. Et tu as en effet raison, je rectifie ça de suite. -
Namiswan Merci
J’apprécie aussi ton retour doux au forum : Helas le forum d'analyse se vide de ces membres ( qui va défendre l'analyse des algébristes , probabiliste et surtout des logiciens qui trouvent l'analyse contradictoire et l’algèbre consistant :-D)Le 😄 Farceur -
@Namiswan merci pour ces exemples !
@gebrane je n'explique pas vraiment le lien entre ces figures. Elles se ressemblent étrangement. Cela suggère un comportement un peu universel de itérations $x_{n+1}=f_a(x_n)$ avec $f_a$ dans une certaine classe de fonctions ... D'ailleurs en se renseignant sur la suite logistique, la page wikipedia fait état de ce caractère universel. De manière plus concrète, Namiswan dit que ces systèmes dynamiques sont conjugués (topologiquement conjugués) donc le graphe de bifurcations de l'un doit se déduire de l'autre.
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