DL en 0 de $\frac{x^2}{1-cos(x)}$ à l'ordre 3

rdma · May 2020

Bonjour
Je travaille actuellement sur les exercices du chapitre analyse asymptotique de Christophhe Bertault et je bloque sur une question (exercice 3, question 8).

Il est demandé le développement limité en 0 de $\frac{x^2}{1-\cos(x)}$ à l'ordre 3.
Je sais que le résultat est $2+\frac{x^2}{6} + o(x^3)$ et j'y parviens utilisant la formule de Taylor directement sur $\frac{x^2}{1-\cos(x)}$. mais cela me parait laborieux car les dérivés sont complexes et trouver leurs limites en 0 demande d'utiliser la règle de l’Hôpital plusieurs fois.

Je pense que le but de cette question est d'utiliser des opérations (composition et produit) sur les développements limités $1/(1-x)$ ; $x^2$ et $\cos(x)$ mais je n'y arrive pas.
Si vous avez des pistes ou des explications, je suis preneur.
Merci d'avance.
rdma.

Guego · May 2020

Remplace $\cos(x)$ par son DL (à un ordre plus grand que $3$, je te laisse trouver lequel), et mets $x^2$ en facteur au dénominateur. Après, il n'y a plus qu'à utiliser le DL de $\dfrac{1}{1-u}$.

Dom · May 2020

Bonjour,

On peut essayer de procéder comme suit :

On utilise le DL(0) de $ \cos(x)$.
On en déduit le DL(0) de $1 - \cos(x)$.
On a du $x^2$ en facteur...

On regarde le quotient en simplifiant par $x^2$ et en effet on va obtenir quelque chose comme $\dfrac{a}{b+P(x)}$ où $a$ et $b$ sont des réels non nuls et $P(x)$ est une quantité qui tend vers $0$ quand $x$ tend vers $0$ et donc on peut appliquer de nouveau un DL(0).
Ce n'est pas tout à fait du $1/(1+u)$ mais en "bricolant" ça devrait marcher.

Je ne dis pas que c'est la manière la moins fastidieuse pour y parvenir.

Cordialement

Dom

Edit : pardon Guego, je n'avais pas vu ton message

nicolas.patrois · May 2020

La division selon les puissances croissantes ne marche pas ?

Dom · May 2020

Si, il me semble que cela revienne au même.

Chaurien · May 2020

En prépa la division selon les puissances croissantes a disparu du paysage depuis des années, je dirais bien au moins vingt ans (encore une ablation regrettable), mais ici elle n'est pas indispensable car c'est vraiment très simple, même si l'on demandait la précision $o(x^5)$.

Guego · May 2020

Je confirme que ça fait plus de 20 ans que ça a été supprimé des programmes.

Math Coss · May 2020

Ça me paraît moins fondamental que les relations d'équivalence (quelle hypocrisie !) ou la diagonalisation des matrices hermitiennes.

nicolas.patrois · May 2020

C’est pourtant plus élégant que la taupinale utilisation du développement de $\frac{1}{1-x}$ composé avec un truc.

rdma · May 2020

Merci à tous pour vos réponses qui m'ont débloqué.

Le DL(0) à l'ordre 5 de $cos(x)$ est $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$ donc $\frac{x^2}{1-cos(x)} = \frac{x^2}{1-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24} + o(x^5)} = \frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{x^2}{24}+ o(x^3)} $.
Avec la division selon les puissances croissantes $1 = (2 + \frac{x^2}{6})(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{24}) - \frac{x^4}{144}$, je retrouve mon $2 + \frac{x^2}{6}$.
Et la division selon les puissances croissantes m'évite d'avoir à dériver.

Dom · May 2020

Au sujet des programmes on a toujours le droit d’appliquer « ça n’y est plus mais ça ne veut pas dire qu’il ne faut pas le faire ».
C’est un IA-IPR qui avait dit ça pour une chose de collège (ma mémoire ne retrouve pas ce que c’était...).

Chaurien · May 2020

Le $o(x^3)$ s'est échappé du dénominateur.

Chaurien · May 2020

Pour les cas simples comme celui-ci on peut se passer de la division selon les puissances croissantes :
$\frac{x^{2}}{1-\cos x}=\frac{x^{2}}{1-(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-%
\frac{x^{6}}{720}+o(x^{7}))}=\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{24}+\frac{%
x^{4}}{720}+o(x^{5})}=\frac{2}{1-(\frac{x^{2}}{12}-\frac{x^{4}}{360}%
)+o(x^{5})}$
$=2(1+(\frac{x^{2}}{12}-\frac{x^{4}}{360})+\frac{x^{4}}{144}+o(x^{5}))=2+%
\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}+o(x^{5})$.