Si $0<q<1$ et $0<z<1$ je me demande si l’égalité suivante est vraie. $$
\prod_{n=1}^{\infty}\left(q^2+(1-q^2)\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=1+\sum _{n\in \mathbb{Z}, n\neq 0}\frac{(-1)^n}{in\pi q}e^{in \pi q}z^{n^2}
$$ Si $q=0$ c'est vrai. Je ne sais pas bien par quel bout le prendre.
Réponses
$z=1.$
https://www.wolframalpha.com/input/?i=prod_{n=1}^{+\infty}++(\left(1/4+(1-1/4)\frac{2^n-1}{2^n+1}\right));
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1-\frac{1}{\pi+1/2}arctan+\frac{2+\cos+(\pi+1/2)}{\sin+(\pi+1/2)}.
plus précisément à $\theta_4(q/2;z)=\sum_{n\in Z} (-1)^n z^{n^2}e^{inq}$ (*) tu intègres par rapport à la variable $q$
Donc il faudrait voir que la dérivée de l’expression de gauche par rapport à la variable $q$ donne $i\pi\theta_{4}(q/2;z)$
http://www-elsa.physik.uni-bonn.de/~dieckman/InfProd/InfProd.html
@P. a modifié son message plusieurs fois. Il devrait effacer la phrase qui explique que la relation est vraie pour $q=0$ puisqu’elle est fausse. On cherche la relation donnée pour $0<q<1$.
J’ai regardé et je n’ai pas trouvé. Pour démontrer cette formule il faut travailler car aucune relation connue des symboles de Pochhammer ne la justifie de façon immédiate.
$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(q^2+(1-q^2)\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\sin \pi nq}{\pi nq}z^{n^2}=1+\sum_{n\in \mathbb{Z}, n\neq 0}(-1)^n\frac{e^{i\pi nq}}{i\pi nq}z^{n^2}.$$ Si $q=0$ cela donne l'egalite classique
$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^nz^{n^2}.$$