Produit infini

P. · May 2020

Si $0<q<1$ et $0<z<1$ je me demande si l’égalité suivante est vraie. $$
\prod_{n=1}^{\infty}\left(q^2+(1-q^2)\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=1+\sum _{n\in \mathbb{Z}, n\neq 0}\frac{(-1)^n}{in\pi q}e^{in \pi q}z^{n^2}
$$ Si $q=0$ c'est vrai. Je ne sais pas bien par quel bout le prendre.

YvesM · May 2020

Bonjour,

$z=1.$

gebrane · May 2020

les deux résultats ne coïncident pas pour z=2 et q=1/2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=prod_{n=1}^{+\infty}++(\left(1/4+(1-1/4)\frac{2^n-1}{2^n+1}\right));

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1-\frac{1}{\pi+1/2}arctan+\frac{2+\cos+(\pi+1/2)}{\sin+(\pi+1/2)}.

P. · May 2020

Desole, chers Yves et gebrane, j'ai melange mes cartes. J'ai corrige ma conjecture.

etanche · May 2020

L’expression de droite fait penser à la fonction théta ressemble à (5) dans https://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html

plus précisément à $\theta_4(q/2;z)=\sum_{n\in Z} (-1)^n z^{n^2}e^{inq}$ (*) tu intègres par rapport à la variable $q$

Donc il faudrait voir que la dérivée de l’expression de gauche par rapport à la variable $q$ donne $i\pi\theta_{4}(q/2;z)$

P. · May 2020

Merci. Je vais chercher du côté de la formule du triple produit de Jacobi.

etanche · May 2020

@P. Voici un site avec des milliers de formules , peut-être ça peut aider à prouver ton identité

http://www-elsa.physik.uni-bonn.de/~dieckman/InfProd/InfProd.html

totem · June 2020

@P: excusez-moi de m'immiscer mais si $q=0$ comment gères-tu $1/{n\pi q}$ ?

etanche · June 2020

@P. le paramètre q est au dénominateur à droite de l’égalité c’est pas une faute de frappe.

YvesM · June 2020

Bonjour,

@P. a modifié son message plusieurs fois. Il devrait effacer la phrase qui explique que la relation est vraie pour $q=0$ puisqu’elle est fausse. On cherche la relation donnée pour $0<q<1$.

J’ai regardé et je n’ai pas trouvé. Pour démontrer cette formule il faut travailler car aucune relation connue des symboles de Pochhammer ne la justifie de façon immédiate.

P. · June 2020

Pardon a ceux qui s'interessent , pour mon absence et pour mes nombreuses approximations. Il s'agit de savoir si pour $0\leq q,z<1$ on a
$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(q^2+(1-q^2)\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\sin \pi nq}{\pi nq}z^{n^2}=1+\sum_{n\in \mathbb{Z}, n\neq 0}(-1)^n\frac{e^{i\pi nq}}{i\pi nq}z^{n^2}.$$ Si $q=0$ cela donne l'egalite classique
$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^nz^{n^2}.$$

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