Produit infini
Réponses
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Bonjour,
$z=1.$ -
les deux résultats ne coïncident pas pour z=2 et q=1/2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=prod_{n=1}^{+\infty}++(\left(1/4+(1-1/4)\frac{2^n-1}{2^n+1}\right));
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1-\frac{1}{\pi+1/2}arctan+\frac{2+\cos+(\pi+1/2)}{\sin+(\pi+1/2)}.Le 😄 Farceur -
Desole, chers Yves et gebrane, j'ai melange mes cartes. J'ai corrige ma conjecture.
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L’expression de droite fait penser à la fonction théta ressemble à (5) dans https://mathworld.wolfram.com/JacobiThetaFunctions.html
plus précisément à $\theta_4(q/2;z)=\sum_{n\in Z} (-1)^n z^{n^2}e^{inq}$ (*) tu intègres par rapport à la variable $q$
Donc il faudrait voir que la dérivée de l’expression de gauche par rapport à la variable $q$ donne $i\pi\theta_{4}(q/2;z)$ -
Merci. Je vais chercher du côté de la formule du triple produit de Jacobi.
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@P. Voici un site avec des milliers de formules , peut-être ça peut aider à prouver ton identité
http://www-elsa.physik.uni-bonn.de/~dieckman/InfProd/InfProd.html -
Bonjour,
@P. a modifié son message plusieurs fois. Il devrait effacer la phrase qui explique que la relation est vraie pour $q=0$ puisqu’elle est fausse. On cherche la relation donnée pour $0<q<1$.
J’ai regardé et je n’ai pas trouvé. Pour démontrer cette formule il faut travailler car aucune relation connue des symboles de Pochhammer ne la justifie de façon immédiate. -
Pardon a ceux qui s'interessent , pour mon absence et pour mes nombreuses approximations. Il s'agit de savoir si pour $0\leq q,z<1$ on a
$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(q^2+(1-q^2)\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=1+2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\frac{\sin \pi nq}{\pi nq}z^{n^2}=1+\sum_{n\in \mathbb{Z}, n\neq 0}(-1)^n\frac{e^{i\pi nq}}{i\pi nq}z^{n^2}.$$ Si $q=0$ cela donne l'egalite classique
$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1-z^n}{1+z^n}\right)=\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^nz^{n^2}.$$
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Bonjour!
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