Corollaire du TVI & théorème de la bijection

J'ai déjà vu ces distinctions de vocabulaire, je ne me rappelle pas précisément dans ton cas, mais je sais qu'à l'époque j'avais constaté que oui, ce sont les mêmes choses et que la distinction est une invention artificielle du secondaire, sans pertinence ensuite.

Le TVI dit que l'image d'un intervalle $I$ par une fonction continue $f$ est un intervalle $J$.
Mais $f:I\to J$ n'est pas forcément injective (penser à $f:[-1,1]\to [0,1]$, $x\mapsto x^2$ par exemple).
Le corollaire assure l'injectivité en rajoutant l'hypothèse de stricte monotonie.

Une fonction continue $f:[a,b]\to\R$ n'est jamais surjective.

Oui, d'accord avec Christophe, la distinction entre les deux énoncés est purement pédagogique et ne vaut pas la peine de s'y arrêter.

À mon avis le "corollaire du TVI", c'est simplement la version du "théorème de la bijection continue monotone sur un segment" que l'on donne avant que la notion de bijection ait été définie.

@Flora :
Pour moi, l'énoncé que tu donnes :

Soit f une fonction continue et strictement monotone de $[a,b]$ dans $\R$. Pour tout réel $u$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(c) = u$ admet une unique solution dans $[a, b]$.

a toutes les raisons de s'appeler "corollaire du TVI" mais je préfère que mes élèves précisent "appliqué aux fonction strictement monotones".


Quand ils s'aperçoivent que c'est lourd de le dire ainsi, je leur fais écrire l'énoncé différemment :

Soit f une fonction continue et strictement monotone de [a,b] dans R.
Alors $f$ réalise une bijection de $[a,b]$ sur son image qui est $[f(a),f(b)]$ ou $[f(b),f(a)]$ suivant le sens de variation de $f$.

Celui-ci est logiquement appelé "théorème de la bijection"... mais on voit qu'il n'est pas très satisfaisant car d'une part on doit distinguer suivant le sens de variation et d'autre part, le TVI est caché dans le fait que l'image est un intervalle, sans que ce soit écrit.


Un peu plus tard encore, je remets une couche avec le "théorème d'homéomorphisme" :

Soit f une fonction continue et strictement monotone de l'intervalle $I$ dans R. Alors :
- l'image de l'intervalle $I$ par $f$ est un intervalle $J$,
- $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$.
- la réciproque de cette bijection est continue sur $J$.
Autrement dit, $f$ réalise un homéomorphisme de $I$ sur son image $J=f(I)$.

Dans ce dernier théorème, on voit le TVI à la première affirmation, on devine l'injectivité due à la stricte monotonie à la deuxième... et surtout on voit que le point qui apporte une vraie nouveauté est le 3ème !

J'ai bien rigolé quand j'ai vu la preuve du théorème 12 du document posté par Flora.
"Par théorème, $f$ réalise une surjection de $I$ sur $f(I)$", avec un exercice pour ça. :-S
N'ayons pas peur des mots !

Je comprends bien Flora.
C'est le "Par théorème" qui me gêne.

@gebrane il n'y a pas de maladresse. L'expression*** "par théorème" est inélégante, mais un simple coup d'oeil aux cours dispensés en lycée par des profs du secondaire te ferait aduler ce prof comme un grand scientifique.

Certes, on peut rédiger de façon plus "fluide", mais il y a des problèmes bien plus graves.

*** qui veut juste dire "on ne le justifie pas ici présent, on renvoie à ailleurs".

En ES et même en S de plus en plus de professeurs ne s'embarrassaient même plus de ce corollaire du T.V.I. et mettaient tout dans le même sac T.V.I....Ils pouvaient même se justifier par une pirouette en traduisant T.V.I. par théorème de la valeur intermédiaire ou par théorème des valeurs intermédiaires...:-D De toute les manières pour le bac vous écrivez ''d'après le T.V.I.'' et ça passe et si en plus vous balancez le mot magique ''continue'' alors c'est mention directe:-D Je plaisante mais ce n'est pas loin...

@gebrane, je ne comprends pas ta question: d'après un théorème oui. Donc?

A moins que tu ne veuilles pointer le fait que le petit mot "sur" serait déterminant, je ne vois pas. Aaah mais non, tu considères "$f(I)$" comme l'image directe de $f$ et déclares que c'est évident, c'est ça?

De toute façon, c'est un théorème aussi évident soit-il, mais si la maladresse est là, alors oui, je peux confirmer qu'il y a maladresse, mais je dois relire le passage dans ce cas, je vais voir et postes un deuxième post.

Bon, je suis allé relire. Pour te dire, je n'avais pas lu jusqu'à la fin et avais loupé le truc, mais dans ce qui semble être ce qu'il raconte, c'est du grand n'importe quoi et ce prof a tort et GR a tort et toi tu as tort de qualifier ça de maladresse, c'est du bug en pack de personne pas réveillée du tout.

L'injectivité de $f$ SUFFIT évidemment à assurer que $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$ dès lors qu'on suppose que la notation $f(I)$ désigne l'image directe de $I$ par $f$. Point barre. Il n'y a aucun TVI, ni rien d'autre là dedans, et ça n'a rien d'une maladresse, c'est un bug (ie une coquille de personne ayant tapé trop vite).

Cela dit, les gens sont tellement familiers qu'ils ne lisent pas (la preuve: moi), et considèrent à tort $f(I)$ comme (avec $I:=[a,b]) :

$$ [min(f(a),f(b)), max(f(a),f(b))] $$

justement à cause du TVI, et même pas pour eux, mais dans la bouche de leur interlocuteur (ils lui prêtent une intention). Je suis contre le mot "maladresse" alors, je préfère "faute" (c'est pas grave, mais c'est plus cash).

D'une manière générale, de toute façon, ces cours alambiqués avec des encadrés et qui envoient le message "hein, rappelez-vous bien, faut apprendre ses leçons", avec ces présentations trop emphatiques et délayées donnent vite lieu à ce genre de bug. De la même façon que rouler à 45km/h en téléphonant fait risquer l'accident sur une route 80km/h.

Comme je l'ai dit 1000 fois, les énoncés de maths devraient être formels et rigoureux dans les cours, sans abus de langage ou implicites. sinon, effectivement on tombe sur ces bugs (et ils ont des milliers dans TOUS les cours de ce genre, je ne cherche même plus à les débusquer,je les décommande et c'est tout, d'une manière générale tout cours long "écrit une fois" et "pour toujours" court ce risque, les éditeurs le savent très bien).

cc a écrit:

Bon, je suis allé relire. Pour te dire, je n'avais pas lu jusqu'à la fin et avais loupé le truc, mais dans ce qui semble être ce qu'il raconte, c'est du grand n'importe quoi et ce prof a tort et GR a tort et toi tu as tort de qualifier ça de maladresse, c'est du bug en pack de personne pas réveillée du tout.

Du grand n'importe quoi ?! Flora dit que l'auteur est un collègue du forum (je crois savoir qui). Tu pourrais faire un peu plus attention à ta façon de t'exprimer. Et aussi être plus prudent. J'ai relu la Proposition 12 et sa démonstration. Laisser en références l'injectivité et la surjectivité au lieu de rappeler les démonstrations pourrait faire croire que ce sont des choses compliquées, mais je ne vois ni faute ni autre maladresse (*).

cc a écrit:

L'injectivité de f SUFFIT évidemment à assurer que f est une bijection de I sur f(I) dès lors qu'on suppose que la notation f(I) désigne l'image directe de I par f. Point barre. Il n'y a aucun TVI, ni rien d'autre là dedans, et ça n'a rien d'une maladresse, c'est un bug (ie une coquille de personne ayant tapé trop vite).

Tu dis exactement la même chose que le document en question...

(*) En fait si, mais juste une coquille : « pour préciser que $f(I)$ étant un intervalle ».

Flora, je ne savais pas que ton prof est un membre parmi nous. Je retire ce que j 'ai dit.

Simeon, je ne vois pas ce qu' on doit demontrer. Si y est dans f(I), par définition, il existe x dans I telque f (x)=y, d'où la surjection. Sauf si la définition de f (I) n 'est pas universelle

Je vois qu'on se marre bien depuis ma petite remarque. B-)
Je n'ai pas dit qu'il y avait faute hein, juste l'impression qu'on a sorti l'artillerie lourde pour l'évidente surjectivité de $f:I\to f(I)$...

@cc : C'est quand même énorme comme tu pars au quart de tour après une lecture en diagonale. :-D

gebrane a écrit:

Simeon, je ne vois pas ce qu' on doit demontrer. Si y est dans f(I), par définition, il existe x dans I telque f (x)=y, d'où la surjection. Sauf si la définition de f (I) n 'est pas universelle

Si si c'est bien ça : il suffit d'aligner deux définitions. Mais ce n'est pas trivial pour des ECE qui n'ont, en sortant du lycée, absolument aucune familiarité avec le formalisme ensembliste, les quantificateurs et même la notion de démonstration.

Cher christophe, tu vas rigoler, il s'agit effectivement d'un copain ! :-) Mais j'aurais réagi de la même façon pour n'importe qui, je ne supporte pas les lynchages (le mot est trop fort, je n'en ai pas trouvé de meilleur). Surtout qu'en l'occurrence c'est toi qui as lu trop vite.

N'y a-t-il pas des gens qui prétendent que les coquilles dans les livres de maths ont pour vertu de forcer le lecteur à être attentif, à exercer une "lecture active" ? Peut-être le mot "théorème" a-t-il été placé là à dessein dans l'espoir de faire réagir les élèves. :-D

Salut brian,
C'est exactement pour ça que j'ai réagi, sans surréagir de mon côté. ;-)