$e^{-1/z}$ holomorphe ?

Bonjour, je ne vois pas mon erreur. Soit $f(z)=e^{-1/z}$ Sa limite en $z=0$ vaut 0 donc appelons $h$ son prolongement. On a pour $z\neq 0$ que $(e^{-1/z})^{'}=\frac{1}{z^2}e^{-1/z}$ qui tend aussi vers $0$ en $z=0$ donc $h$ est holomorphe (L'erreur est ici?). On répète ce processus par exemple que $\left( \frac{1}{z^2}e^{-1/z} \right)^{'}=\frac{1}{z^4}e^{-1/z}-\frac{1}{z^3}e^{-1/z}$ et donc $h$ est doublement holomorphe.
On observe en fait que pour tout $n$, il existe un polynôme $P_n(\frac{1}{z})$ tel que $h^{(n)}=P_n(\frac{1}{z})e^{-1/z}$.
En particulier $h$ est infiniment dérivable et par Taylor on a $h(z)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{h^{(n)}}{n!}z^n$ ce qui implique que $h(z)=0$ pour tout $z$, mais c'est impossible.

Où est l'erreur? Est-ce quand j'ai dit que $h$ était holomorphe?